Произведение топологических пространств.

[Duelist]

Ниже на картинке дано определение базы топологии произведения топологических пространств.



У меня вопрос: $(U_1 \cap U_2) \times (U'_1 \cap U'_2) \in \mathcal{U}$? Ясно, что $ U_1 \cap U_2$ и $U'_1 \cap U'_2$ - открыты в топологиях $M$ и $M'$ соответственно , но не сказано, что $\mathcal{U}$ - набор всех открытых подмн-в $M \times M'$ вида $U \times U'$ , где $U \subset M$, $U' \subset M'$ открыты.
В частности, набор $\mathcal{U}$, насколько я понял, может состоять по этому определению только из двух подмн-в $M \times M'$: $U_1 \times U'_1$ и $U_2 \times U'_2$ и где тогда гарантия, что $(U_1 \cap U_2) \times (U'_1 \cap U'_2)$ является объединением каких-то мн-в из $\mathcal{U}$ (где их всего 2) и, соответственно, что $\mathcal{U}$ - база?
Определение произведения топологических пр-в из некоторых других источников я тоже не очень понял. Когда думал, пришло в голову, что должно получаться так: Пусть $B_M$ - база для $M$ , $B_M'$ - для $M'$, $\mathcal{U}=\{ U \times U' : U \in B_M \wedge U' \in B_M' \}$. Тогда, насколько я вижу, $\mathcal{U}$ будет базой для $M \times M'$.
Как всё-таки определить это произведение, правильно ли я понимаю, что написано в той лекции?

[oskar_808]

На картинке по ссылке $\mathcal{U}$ - это, конечно, множество всех подмножеств $M\times M'$ вида $U\times U'$, где $U\subset M$ и $U'\subset M'$ - открытые множества. Слово "всех" там просто опущено.

То есть да, топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$. Точно такая же топология получится, если вместо произведений открытых множеств из $M$ и $M'$ брать произведения множеств из баз $B_M$ и $B_{M'}$.

[Anton_Peplov]

oskar_808 в сообщении #1107297 писал(а):

топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$.

Вы, должно быть, хотели сказать, что $\mathcal{U}$ - не единственная база этой топологии?

[Duelist]

oskar_808
Спасибо

[oskar_808]

Anton_Peplov в сообщении #1107309 писал(а):

Вы, должно быть, хотели сказать, что $\mathcal{U}$ - не единственная база этой топологии?

Нет, я сказал ровно то, что хотел сказать. Топология, порождаемая базой $\mathcal{U}$ -- единственна (и называется топологией произведения). Могут быть и другие топологии на множестве $M\times M'$, но $\mathcal{U}$ не является их базой. То, что у топологии, порождаемой $\mathcal{U}$, может быть сколько угодно разных баз, тоже верно.

[Anton_Peplov]

oskar_808 в сообщении #1107297 писал(а):

топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$.

oskar_808 в сообщении #1107421 писал(а):

Топология, порождаемая базой $\mathcal{U}$ -- единственна (и называется топологией произведения).

Любая база порождает одну и только одну топологию. Что легко видеть из определения топологии и определения базы. А Ваши слова звучат так, будто для базы $\mathcal{U}$ это надо специально доказывать, потому что есть какие-то базы, для которых это не так.

[oskar_808]

Anton_Peplov в сообщении #1107506 писал(а):

Любая база порождает одну и только одну топологию. Что легко видеть из определения топологии и определения базы. А Ваши слова звучат так, будто для базы $\mathcal{U}$ это надо специально доказывать, потому что есть какие-то базы, для которых это не так.

Нет; мои слова звучат как ответ на поставленный вопрос. Ваши же слова звучат как ответ на вопрос "существуют ли различные топологии с одной и той же базой", который поставлен не был. Впрочем, на него Вы ответили верно -- надеюсь, что Ваше замечание поможет автору поста.