2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение топологических пространств.
Сообщение17.03.2016, 03:39 
Аватара пользователя


08/07/15
127
Ниже на картинке дано определение базы топологии произведения топологических пространств.

Изображение

У меня вопрос: $(U_1 \cap U_2) \times (U'_1 \cap U'_2) \in \mathcal{U}$? Ясно, что $ U_1 \cap U_2$ и $U'_1 \cap U'_2$ - открыты в топологиях $M$ и $M'$ соответственно , но не сказано, что $\mathcal{U}$ - набор всех открытых подмн-в $M \times M'$ вида $U \times U'$ , где $U \subset M$, $U' \subset M'$ открыты.
В частности, набор $\mathcal{U}$, насколько я понял, может состоять по этому определению только из двух подмн-в $M \times M'$: $U_1 \times U'_1$ и $U_2 \times U'_2$ и где тогда гарантия, что $(U_1 \cap U_2) \times (U'_1 \cap U'_2)$ является объединением каких-то мн-в из $\mathcal{U}$ (где их всего 2) и, соответственно, что $\mathcal{U}$ - база?
Определение произведения топологических пр-в из некоторых других источников я тоже не очень понял. Когда думал, пришло в голову, что должно получаться так: Пусть $B_M$ - база для $M$ , $B_M'$ - для $M'$, $\mathcal{U}=\{ U \times U' : U \in B_M \wedge U' \in B_M' \}$. Тогда, насколько я вижу, $\mathcal{U}$ будет базой для $M \times M'$.
Как всё-таки определить это произведение, правильно ли я понимаю, что написано в той лекции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение17.03.2016, 05:33 
Аватара пользователя


08/03/16
45
Москва
На картинке по ссылке $\mathcal{U}$ - это, конечно, множество всех подмножеств $M\times M'$ вида $U\times U'$, где $U\subset M$ и $U'\subset M'$ - открытые множества. Слово "всех" там просто опущено.

То есть да, топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$. Точно такая же топология получится, если вместо произведений открытых множеств из $M$ и $M'$ брать произведения множеств из баз $B_M$ и $B_{M'}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение17.03.2016, 09:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
oskar_808 в сообщении #1107297 писал(а):
топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$.
Вы, должно быть, хотели сказать, что $\mathcal{U}$ - не единственная база этой топологии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение17.03.2016, 11:46 
Аватара пользователя


08/07/15
127
oskar_808
Спасибо

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение17.03.2016, 19:03 
Аватара пользователя


08/03/16
45
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1107309 писал(а):
Вы, должно быть, хотели сказать, что $\mathcal{U}$ - не единственная база этой топологии?
Нет, я сказал ровно то, что хотел сказать. Топология, порождаемая базой $\mathcal{U}$ -- единственна (и называется топологией произведения). Могут быть и другие топологии на множестве $M\times M'$, но $\mathcal{U}$ не является их базой. То, что у топологии, порождаемой $\mathcal{U}$, может быть сколько угодно разных баз, тоже верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение18.03.2016, 00:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
oskar_808 в сообщении #1107297 писал(а):
топология произведения - это единственная топология на $M\times M'$, базой которой является множество $\mathcal{U}$.

oskar_808 в сообщении #1107421 писал(а):
Топология, порождаемая базой $\mathcal{U}$ -- единственна (и называется топологией произведения).

Любая база порождает одну и только одну топологию. Что легко видеть из определения топологии и определения базы. А Ваши слова звучат так, будто для базы $\mathcal{U}$ это надо специально доказывать, потому что есть какие-то базы, для которых это не так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение топологических пространств.
Сообщение18.03.2016, 00:54 
Аватара пользователя


08/03/16
45
Москва
Anton_Peplov в сообщении #1107506 писал(а):
Любая база порождает одну и только одну топологию. Что легко видеть из определения топологии и определения базы. А Ваши слова звучат так, будто для базы $\mathcal{U}$ это надо специально доказывать, потому что есть какие-то базы, для которых это не так.
Нет; мои слова звучат как ответ на поставленный вопрос. Ваши же слова звучат как ответ на вопрос "существуют ли различные топологии с одной и той же базой", который поставлен не был. Впрочем, на него Вы ответили верно -- надеюсь, что Ваше замечание поможет автору поста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group