Случайный процесс, inference

[vlad_light]

Пусть дано параметрическое распределение $\mathcal D = \mathcal D(\theta )$ на $\mathbb R$ такое, что $\mathcal D >0$ п.н. и $\mathbb E \mathcal D = 1$.
Первый вопрос: как называется кусочно-постоянный процесс, который меняет свое состояние через время $\Delta _i$, где $\Delta _i \sim Exp(\lambda )$ на случайное взятое из $\mathcal D$?
Пусть имеются $K$ независимых процессов $X^{(k)}_t, t\geq 0, k=1,\ldots ,K$, описанных выше, каждый из которых имеет свой параметр $\lambda _k$. Теперь рассмотрим процесс

$$\sigma _t \propto \prod _k X^{(k)}_t$$

Данный процесс похож на предыдущий с параметром $\lambda = \sum _k \lambda _k$, который меняет состояние $k$-ого процесса с вероятностью $\lambda _k /\lambda $ (если я не ошибаюсь). Мне нужно научится оценивать параметры данного процесса по его реализации и делать прогноз.
Подскажите, пожалуйста, с чего мне начать.

[--mS--]

vlad_light в сообщении #1105560 писал(а):

Первый вопрос: как называется

Compound Poisson process (сложный пуассоновский процесс).

[vlad_light]

Спасибо! Я немного переформулировал задачу:
Пусть имеются $K$ сложных пуассоновских процессов $\{X^{(k)}_t, t\geq 0\} _{k=1}^K$ с интенсивностями $\lambda _1, \ldots ,\lambda _K$ соответственно. Приросты во всех процессах выбираются из параметрического распределения $\mathcal D (\theta)$ со средним $0$. Предположим, что процесс $\sigma ^2_t = \sigma ^2 \exp(\sum _k X^{(k)}_t)$ описывает волатильность цены:

$$d\log S_t = \sigma _t dW_t, $$

где $S_t$ -- цена, а $W_t$ -- винеровский процесс. Поправьте, пожалуйста, если я где-то ошибся.
Теперь мне нужно оценить параметры $(\lambda ,\theta ,\sigma )$ по реализации $(S_1, \ldots, S_T)$. С чего мне начать хотя бы для $K=1$ и $\mathcal D = $ любое удобное однопараметрическое распределение?
P.S.: Я не прошу точного решения или уверенности в ответе. Для меня более важно услышать идею, как бы вы поступили в данной ситуации, пусть даже она неправильная. Заранее благодарен!

[dsge]

Максимальным правдоподобием:
https://www.researchgate.net/publicatio ... on_Process

[vlad_light]

Вот что я пока подумал:
Пусть $\mathcal D (\theta ) = \mathcal N(0, \theta ^2)$, тогда

$$\sigma ^2_t \sim \ln \mathcal N (\log \sigma ^2 , \theta ^2 N_t),$$

где $N_t$ -- пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda = \sum _k \lambda _k$ (т.е. этот процесс включает в себя произвольное $K$). Далее $\sigma ^2$ можно приблизительно оценить, как

$$\hat \sigma ^2 = \left[ \prod _t \sigma ^2_t \right] ^{\frac 1T}\quad \text {подскажите, как можно улучшить эту оценку?}$$

Получается, $\sigma ^2_t / \hat \sigma ^2 \sim (\ln \mathcal N)^{\theta \sqrt {N_t}}$. Как от сюда достать $\lambda$ и $\theta$?
Вот ещё попробовал порисовать. Мне не нравится, что доходность (returns) меняется плавно, в то время как в реальности она меняется более резко и в ней содержится много маленьких выбросов (хотя, возможно, это иллюзия). Подскажите, пожалуйста, это можно исправить?

[vlad_light]

Продолжу свои бесполезные рассуждения :)

Поскольку мы наблюдаем только цену ($S_t$), а не $\sigma _t$, будем использовать следующую оценку:

$$ \hat \sigma ^2_t = \left(\frac {S_{t+\Delta t} - S_t}{S_t}\right)^2 $$

Из рассуждений выше, $\sigma ^2_t \sim \ln \mathcal N (\log \sigma ^2 ,\alpha ^2 N_t)$. Записываем функцию правдоподобия для одного наблюдения:

$$ p(\sigma _t^2) = \int p(\sigma _t^2 \mid N_t) p(N_t)dN_t = \sum _k p(\sigma _t^2 \mid N_t=k) p(N_t=k) $$

Подставляем плотности:

$$ p(\sigma _t^2 \mid \boldsymbol \theta = (\lambda ,\alpha , \sigma ^2)) = \sum _k \frac {1}{\sigma _t^2 \alpha \sqrt {2\pi k}} \exp \left(- \frac{(\log \sigma ^2_t - \log \sigma ^2)^2}{2\alpha ^2 k} \right) \exp (-\lambda t) \frac {(\lambda t)^k}{k!} $$

Дальше, верно ли, что $p(\sigma _1^2, \ldots ,\sigma _T^2) = \prod _t p(\sigma _t^2)$ (и если да, то почему)? Можно ли как-то свернуть/упростить эту формулу (её нужно будет считать на компьютере)? При $k=0$ получается вырожденное распределение, как это подправить?