2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Случайный процесс, inference
Сообщение10.03.2016, 17:03 


07/03/11
690
Пусть дано параметрическое распределение $\mathcal D = \mathcal D(\theta )$ на $\mathbb R$ такое, что $\mathcal D >0$ п.н. и $\mathbb E \mathcal D = 1$.
Первый вопрос: как называется кусочно-постоянный процесс, который меняет свое состояние через время $\Delta _i$, где $\Delta _i \sim Exp(\lambda )$ на случайное взятое из $\mathcal D$?
Пусть имеются $K$ независимых процессов $X^{(k)}_t, t\geq 0, k=1,\ldots ,K$, описанных выше, каждый из которых имеет свой параметр $\lambda _k$. Теперь рассмотрим процесс $$\sigma _t \propto \prod _k X^{(k)}_t$$Данный процесс похож на предыдущий с параметром $\lambda = \sum _k \lambda _k$, который меняет состояние $k$-ого процесса с вероятностью $\lambda _k /\lambda $ (если я не ошибаюсь). Мне нужно научится оценивать параметры данного процесса по его реализации и делать прогноз.
Подскажите, пожалуйста, с чего мне начать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайный процесс, inference
Сообщение10.03.2016, 17:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
vlad_light в сообщении #1105560 писал(а):
Первый вопрос: как называется

Compound Poisson process (сложный пуассоновский процесс).

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайный процесс, inference
Сообщение11.03.2016, 19:05 


07/03/11
690
Спасибо! Я немного переформулировал задачу:
Пусть имеются $K$ сложных пуассоновских процессов $\{X^{(k)}_t, t\geq 0\} _{k=1}^K$ с интенсивностями $\lambda _1, \ldots ,\lambda _K$ соответственно. Приросты во всех процессах выбираются из параметрического распределения $\mathcal D (\theta)$ со средним $0$. Предположим, что процесс $\sigma ^2_t = \sigma ^2 \exp(\sum _k X^{(k)}_t)$ описывает волатильность цены:$$d\log S_t = \sigma _t dW_t, $$где $S_t$ -- цена, а $W_t$ -- винеровский процесс. Поправьте, пожалуйста, если я где-то ошибся.
Теперь мне нужно оценить параметры $(\lambda ,\theta ,\sigma )$ по реализации $(S_1, \ldots, S_T)$. С чего мне начать хотя бы для $K=1$ и $\mathcal D = $ любое удобное однопараметрическое распределение?
P.S.: Я не прошу точного решения или уверенности в ответе. Для меня более важно услышать идею, как бы вы поступили в данной ситуации, пусть даже она неправильная. Заранее благодарен!

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайный процесс, inference
Сообщение11.03.2016, 22:00 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Максимальным правдоподобием:
https://www.researchgate.net/publicatio ... on_Process

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайный процесс, inference
Сообщение13.03.2016, 17:43 


07/03/11
690
Вот что я пока подумал:
Пусть $\mathcal D (\theta ) = \mathcal N(0, \theta ^2)$, тогда
$$\sigma ^2_t \sim \ln \mathcal N (\log \sigma ^2 , \theta ^2 N_t),$$
где $N_t$ -- пуассоновский процесс с интенсивностью $\lambda = \sum _k \lambda _k$ (т.е. этот процесс включает в себя произвольное $K$). Далее $\sigma ^2$ можно приблизительно оценить, как
$$\hat \sigma ^2 = \left[ \prod _t \sigma ^2_t \right] ^{\frac 1T}\quad \text {подскажите, как можно улучшить эту оценку?}$$
Получается, $\sigma ^2_t / \hat \sigma ^2 \sim (\ln \mathcal N)^{\theta \sqrt {N_t}}$. Как от сюда достать $\lambda$ и $\theta$?
Вот ещё попробовал порисовать. Мне не нравится, что доходность (returns) меняется плавно, в то время как в реальности она меняется более резко и в ней содержится много маленьких выбросов (хотя, возможно, это иллюзия). Подскажите, пожалуйста, это можно исправить?
Изображение
Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Случайный процесс, inference
Сообщение16.03.2016, 15:55 


07/03/11
690
Продолжу свои бесполезные рассуждения :)

Поскольку мы наблюдаем только цену ($S_t$), а не $\sigma _t$, будем использовать следующую оценку:
$$
\hat \sigma ^2_t = \left(\frac {S_{t+\Delta t} - S_t}{S_t}\right)^2
$$
Из рассуждений выше, $\sigma ^2_t \sim \ln \mathcal N (\log \sigma ^2 ,\alpha ^2 N_t)$. Записываем функцию правдоподобия для одного наблюдения:
$$
p(\sigma _t^2) = \int p(\sigma _t^2 \mid N_t) p(N_t)dN_t = \sum _k p(\sigma _t^2 \mid N_t=k) p(N_t=k)
$$
Подставляем плотности:
$$
p(\sigma _t^2 \mid \boldsymbol \theta = (\lambda ,\alpha , \sigma ^2)) = \sum _k \frac {1}{\sigma _t^2 \alpha \sqrt {2\pi k}} \exp \left(- \frac{(\log \sigma ^2_t - \log \sigma ^2)^2}{2\alpha ^2 k} \right) \exp (-\lambda t) \frac {(\lambda t)^k}{k!}
$$
Дальше, верно ли, что $p(\sigma _1^2, \ldots ,\sigma _T^2) = \prod _t p(\sigma _t^2)$ (и если да, то почему)? Можно ли как-то свернуть/упростить эту формулу (её нужно будет считать на компьютере)? При $k=0$ получается вырожденное распределение, как это подправить?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group