Вопрос о производной

[razumovsky1994]

Производная некоторой функции $y=f(x)$ задается пределом при $dx \rightarrow 0$, вопрос состоит в следующем: есть ли некоторое равенство или закономерность между $f'(x)=\lim \limits _{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ и скажем $f

[Aritaborian]

(Про ТеХ)

Правильная запись лимита предела: \lim \limits _{x \to 0} f(x).

[Yodine]

razumovsky1994 Вы недопоняли смысл определения, надонайти пару пределов по классическому определению и потом помедитировать.

[razumovsky1994]

Yodine в сообщении #1107137 писал(а):

razumovsky1994 Вы недопоняли смысл определения, надонайти пару пределов по классическому определению и потом помедитировать.

То есть мой вопрос некорректный и связи быть просто не может ?

[Mihr]

razumovsky1994, а попробуйте изложить свой вопрос более внятно: что Вы, собственно, хотите узнать (или понять)?
Кстати, ноль - это тоже константа.

[DeBill]

razumovsky1994 в сообщении #1107133 писал(а):

есть ли некоторое равенство или закономерность

Есть: $f^{,,}(x)$ сходится к $f'(x)$ при $\operatorname{Const} \to 0$

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[razumovsky1994]

Вопрос можно перефразировать так : Есть ли связь производной с бесконечно малым приращением аргумента с "производной" с конечным приращением аргумента? Хотя производная и подразумевает бесконечно малое приращение и вопрос имеет некоторую рекурсию но тем не менее) извините за мое незнание терминов)

[Aritaborian]

Да. Последняя стремится к первой при стремлении приращения аргумента к нулю. Ну и всё, пожалуй.

[gris]

Какой смысл во втором пределе, если функция непрерывна? Этот предел всегда равен отношению приращений в данной точке. Другое дело, что связь, возможно, существует не в отдельно взятой точке, а на интервале.
Пусть $f(x)$ дифференцируема на всей прямой и везде
$ \dfrac {f(x+1)-f(x)}{1}\leqslant 1$. Можно ли оценить производную?
А если $ \dfrac {f(x+1)-f(x)}{1}\geqslant 1$?

[Sonic86]

Конструктивный ответ о связи между производной и конечной разностью имеется в Конкретной математике Грэхема, Кнута, Паташника.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%BD%D0%B0
вот один из примеров такой связи

[Munin]

Неприятный факт: двумя штрихами обозначают вторую производную, то есть $f''=(f')'.$
А конечно-разностную производную обозначают как-то иначе.

[svv]

Даже $(\forall x)\;\frac{f(x+a)-f(x)}{a}=0$, где $a\neq 0$, говорит просто о том, что $f(x)$ периодическая с периодом $a$.

[gris]

svv, если Ваша функция гладкая, то у неё есть бесконечное количество нулей производной

[Евгений Машеров]

Разложите в ряд (в предположении, что ряд сходится на отрезке $[x_0;x_0+\Delta]$)
$f(x)=f(x_0)+\frac {df(x)}{dx}(x-x_0)+\frac 1 {2!}\frac {d^2f(x)}{dx^2}(x-x_0)^2+\frac 1 {3!}\frac {d^3f(x)}{dx^3}(x-x_0)^3+\frac 1 {4!}\frac {d^4f(x)}{dx^4}(x-x_0)^4+\cdots$
И Вы увидите, что у Вас получится
$f^\Delta(x)=f'(x)+\frac 1 2 f''(x)\Delta+\frac 1 6 f'''(x)\Delta^2+\frac 1 {24} f^{IV}(x)\Delta^3+\cdots$
А вообще - обратитесь к учебникам по конечным разностям.