Оценка автокорреляционной функции

[Anton_Peplov]

Пусть в опыте получено $n$ значений случайной функции в равноотстоящие моменты времени. Предполагается, что функция эргодическая и стационарная. Тогда, согласно литературе, нормированная автокорреляционная функция оценивается по формуле:

$$k(m) = \frac{1}{D}\frac{1}{n-m}\sum_{i=1}^{n-m}(x_i - M)(x_{i+m}-M)$$

где $D$ - выборочная дисперсия, $M$ - выборочное среднее.
По смыслу $k(m)$ - это оценка коэффициента корреляции между значениями в точках, отстоящих друг от друга на $m$. Поэтому $k(m)$ должно быть заключено в пределах от $1$ до $-1$.
Здесь пока нет ошибок?

Мне стало интересно, как поведет себя эта формула, если применить ее к некорректным данным. Я взял 50 первых натуральных чисел и построил на них параболу $y = x^2$: $y(1) = 1, ...., y(50) = 2500$. Применил к этому временному ряду вышезаписанную формулу. Уже при сдвиге $m = 32$ получилось $k(m)< -1$, а при $k(m) = 44$ - $k(m)< -2$. Такие коэффициенты корреляции бывают только в военное время (с).

Я правильно понимаю, что это оттого, что парабола не моделирует стационарный случайный процесс? То есть среднее точек $1, 4, ... 2500$ не есть оценка матожидания процесса в каждый момент времени, а равно и дисперсия этих точек не есть оценка дисперсии процесса? Поэтому $k(m)$ теряет смысл коэффициента корреляции и превращается в ничего не значащий набор чисел, которые могут быть больше и меньше не только $1$ и $-1$, но даже и черта лысого?

Я эти вопросы к чему задаю. Пусть мы в эксперименте получили некий временной ряд, и нам не ясно априори, стационарен он или нет. Физическая природа процесса нам на это не указывает (мы ее можем и вообще не знать, а, напротив, пытаться выяснить). На глазок по графику тоже бабка надвое сказала, есть тренд или нет. Тогда ведь, если я прав, прежде чем считать автокорреляционную функцию, нужно проверить гипотезу о том, что функция стационарна, а то можно и ерунды насчитать. Для каковой проверки, наверное, существуют стандартные методы...

[Евгений Машеров]

При расчёте автокорреляционной функции есть две противоречащие рекомендации: делить на $n-m$, получая несмещённую оценку, или на $n$, получая ММП-оценку. Для больших n и малых m разница носит скорее схоластический характер, однако если сдвиг корреляционной функции превышает одну десятую длины ряда, как часто рекомендуют, лучше отказаться от несмещённости, поскольку несмещённая оценка может быть бессмысленной. Если же делить на n, парадокса не возникает.