2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Оценка автокорреляционной функции
Сообщение16.03.2016, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8506
Пусть в опыте получено $n$ значений случайной функции в равноотстоящие моменты времени. Предполагается, что функция эргодическая и стационарная. Тогда, согласно литературе, нормированная автокорреляционная функция оценивается по формуле:
$$k(m) = \frac{1}{D}\frac{1}{n-m}\sum_{i=1}^{n-m}(x_i - M)(x_{i+m}-M)$$
где $D$ - выборочная дисперсия, $M$ - выборочное среднее.
По смыслу $k(m)$ - это оценка коэффициента корреляции между значениями в точках, отстоящих друг от друга на $m$. Поэтому $k(m)$ должно быть заключено в пределах от $1$ до $-1$.
Здесь пока нет ошибок?

Мне стало интересно, как поведет себя эта формула, если применить ее к некорректным данным. Я взял 50 первых натуральных чисел и построил на них параболу $y = x^2$: $y(1) = 1, ...., y(50) = 2500$. Применил к этому временному ряду вышезаписанную формулу. Уже при сдвиге $m = 32$ получилось $k(m)< -1$, а при $k(m) = 44$ - $k(m)< -2$. Такие коэффициенты корреляции бывают только в военное время (с).

Я правильно понимаю, что это оттого, что парабола не моделирует стационарный случайный процесс? То есть среднее точек $1, 4, ... 2500$ не есть оценка матожидания процесса в каждый момент времени, а равно и дисперсия этих точек не есть оценка дисперсии процесса? Поэтому $k(m)$ теряет смысл коэффициента корреляции и превращается в ничего не значащий набор чисел, которые могут быть больше и меньше не только $1$ и $-1$, но даже и черта лысого?

Я эти вопросы к чему задаю. Пусть мы в эксперименте получили некий временной ряд, и нам не ясно априори, стационарен он или нет. Физическая природа процесса нам на это не указывает (мы ее можем и вообще не знать, а, напротив, пытаться выяснить). На глазок по графику тоже бабка надвое сказала, есть тренд или нет. Тогда ведь, если я прав, прежде чем считать автокорреляционную функцию, нужно проверить гипотезу о том, что функция стационарна, а то можно и ерунды насчитать. Для каковой проверки, наверное, существуют стандартные методы...

 Профиль  
                  
 
 Re: Оценка автокорреляционной функции
Сообщение16.03.2016, 16:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
При расчёте автокорреляционной функции есть две противоречащие рекомендации: делить на $n-m$, получая несмещённую оценку, или на $n$, получая ММП-оценку. Для больших n и малых m разница носит скорее схоластический характер, однако если сдвиг корреляционной функции превышает одну десятую длины ряда, как часто рекомендуют, лучше отказаться от несмещённости, поскольку несмещённая оценка может быть бессмысленной. Если же делить на n, парадокса не возникает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group