Ковектор

[specialist]

svv в сообщении #1106872 писал(а):

specialist в сообщении #1106815 писал(а):

арифметическое векторное пространство, оно включает в себя и вектора и ковектора?

Если у Вас область многообразия, то к каждой точке $p$ прикреплено одно векторное пространство, в котором живут все векторы в точке $p$ (называется касательное пространство, обозначается $T_p$), и другое векторное пространство, в котором живут все ковекторы в точке $p$ (называется кокасательное пространство, обозначается $T^*_p$). Кокасательное пространство является сопряжённым к касательному (см. план Slav-27, пункт I.2).

Если у Вас область в $\mathbb R^n$, то касательные пространства всех точек можно отождествить, но можно (как предлагает Slav-27, пункт II.1) этого и не делать, в конце концов, $\mathbb R^n$ тоже многообразие.

Как Вы думаете, почему не сделали по-простому и не ввели одно векторное пространство для векторов и 1-форм? (подсказка — см. определение векторного пространства)

Так, для меня это не очень ясно, но в векторном пространстве определены операции: сложения и умножения на число, причем все комбинации этих операций составляют линейные функционалы, а все линейные функционалы создают свое пространство которое назвали сопряженным, как я понял элементы этого пространства сами функционалы, без аргументов. А вот зачем понадобилось такое выделение мне не ясно пока.

[svv]

specialist в сообщении #1106906 писал(а):

в векторном пространстве определены операции: сложения

Верно. И потому человек, запихавший вектор и 1-форму в одно векторное пространство, будет обязан сказать, чему равна бессмысленная сумма двух разнородных вещей: вот этого вектора и вот этой формы.

specialist в сообщении #1106906 писал(а):

в векторном пространстве определены операции: сложения и умножения на число, причем все комбинации этих операций составляют линейные функционалы

Нет, не этих. У этих:
вектор + вектор = вектор
скаляр * вектор = вектор
— как видите, результатом является вектор. А ковектор (линейный функционал на векторном пространстве) — это такая линейная функция:
функция (вектор) = скаляр
Действительно, все такие функции образуют пространство, сопряжённое данному векторному пространству.

Если воспользоваться аналогией из программирования: Вам нужно сделать более строгим контроль типов, постараться не путать их.

[Slav-27]

Мдя... Всё гораздо хуже, чем мне сначала казалось.

Увещевания:

(Оффтоп)

specialist
Не надо молоть чепуху! Надо читать учебники!

specialist в сообщении #1106700 писал(а):

я задаю вопрос - мне отвечают, на основании ответа делаю утверждение, ну ладно оно неверное, я делаю следующее утверждение, оно снова неверное

Не надо делать неверных утверждений. Надо изо всех сил стараться делать верные, хорошие, понятные, правильные, осмысленные, продуманные утверждения. В этом вам поможет учебник, который вы не читаете. Всё написано в учебнике. Форум не станет заменою учебника. Вот если вы читаете учебник, всё понятно, и тут вдруг на каком-то месте затык. Вы и так читаете, и сяк, и другие книжки смотрите, и в интернете гуглите, а всё равно не понятно, хоть тресни. Вот тогда вы приходите на форум и задаёте этот вот конкретный вопрос, который возник у вас. Тогда вам подскажут, и вы воскликните: "А, вот оно что! Вон как всё просто оказалось!" - и пойдёте учиться дальше. Вот тогда выйдет нечто разумное.

А вы приходите и начинаете: а как вектор раскладывается по базису ковекторов, а какие тут "векторные функции компоненты формы" (вас цитирую!), а зачем сопряженное пространство, а почему буквы чёрные и разные?

Обратите внимание, что своим стилем общения вы настроили против себя многих из тех, кто мог бы вам хорошо помочь.

specialist в сообщении #1106700 писал(а):

что такое дифформа, как её представить, почему это так и как это использовать на практике

Учтите: на это вам понадобится по крайней мере несколько месяцев труда.

specialist в сообщении #1106806 писал(а):

я не нашел определение линейности пространства

Прекрасно. Вы не удосужились открыть первые страницы учебника по линейной алгебре (которых вам уже несколько штук нарекомендовали). Но это обязательно надо сделать. Вы не построите крышу прежде стен.

specialist в сообщении #1106700 писал(а):

и в цепочки данных утверждений я нахожу логическую связь между правильным ответом и поставленным вопросом, также обучаются нейронные сети...

Вот даже сети обучаются, а вы нет!

(По крайней мере на протяжении этой темы.)

Я сделаю последнюю попытку получить от вас что-то толковое.

Пожалуйста, сделайте следующее:
1) напишите определение векторного пространства над полем вещественных чисел,
2) определение линейной комбинации векторов, линейно зависимых векторов,
3) определение базиса векторного пространства,
4) определение векторного пространства $\mathbb R^n$,
5) определение размерности векторного пространства,
6) как установить изоморфизм $n$-мерного векторного пространства над полем вещественных чисел и $\mathbb R^n$.

Это немного, по сути это первый пункт той программки, которую я вам писал сначала. Должно получиться полстраницы - страница текста.

Пожалуйста, пишите для тех, кто не имеет ни малейшего представления о линейной алгебре!

Не используйте слово "метрика".


Если вы не справитесь с этим заданием, то мне придётся думать, что вас невозможно чему-либо научить посредством этого форума. В таком случае я буду считать бессмысленными дальнейшие разговоры.

[Munin]

specialist в сообщении #1106783 писал(а):

раз метрика не задана, то сопряженное пространство будет двойственно только по базисам

Не понятно, что значит "по базисам".

Вам надо суметь представить себе линейную функцию на пространстве векторов. И убедиться в том, что такие функции тоже образуют векторное пространство.

specialist в сообщении #1106806 писал(а):

мне непонятно, если функция $f$ из векторного пространства $\mathbb R^n$ то это функция от векторов и она не может быть скаляром-инвариантом то есть числом?

Да, конечно, она не скаляр, она 1-форма = ковектор = линейный функционал.

specialist в сообщении #1106815 писал(а):

Спасибо, вам, хорошая книга всегда пригодится, большое спасибо.

Книги вам советуют не на будущее, а чтобы читать прямо сейчас.

[Slav-27]

А, да, насчёт учебников.

Как я понял, линейной алгебры вы не знаете совсем.
Можно читать Булдырева-Павлова, которого я советовал уже, самое начало.

Ещё попробуйте:
Беклемишев. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
Фаддеев. Лекции по алгебре.
Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.

Читайте и ищите там ответы на те вопросы, которые вам задали (в частности я в предыдущем посте). Это совсем не сложно, попробуйте.

(Кострикин-Манин - это конечно, хорошо, но боюсь, что тут не тот случай, когда это хорошо.)

-- 15.03.2016, 18:50 --

Остальным предлагаю с ним не разговаривать, пока хотя бы определение векторного пространства не напишет, а то уже прямо цирк какой-то.

[Munin]

svv в сообщении #1106913 писал(а):

У этих:
вектор + вектор = вектор
скаляр * вектор = вектор
— как видите, результатом является вектор. А ковектор (линейный функционал на векторном пространстве) — это такая линейная функция:
функция (вектор) = скаляр
Действительно, все такие функции образуют пространство, сопряжённое данному векторному пространству.

Если воспользоваться аналогией из программирования: Вам нужно сделать более строгим контроль типов, постараться не путать их.

В таком стиле, я добавлю кое-что.

В элементарной аналитической геометрии рассказывают про такие штуки: скалярное произведение векторов и векторное произведение векторов. Второе вообще отложим в сторонку, и посмотрим на первое. Оно имеет такой тип:
вектор * вектор = скаляр
Но как верно было замечено, чтобы его правильно вычислять, необходимо иметь в пространстве структуру скалярного произведения (несколько некорректно называемую "метрикой": на самом деле, необходима и достаточна евклидова метрика, но это всё-таки не одно и то же; а метрика сама по себе - понятие более широкое, чем только евклидова).

Если мы убираем из нашей конструкции евклидову метрику, то не остаёмся совсем ни с чем. У нас получается другая операция:
ковектор * вектор = скаляр
Векторы на векторы умножать нельзя, а ковекторы на векторы - можно. Но что такое ковектор? Раньше у нас таких штук не было. Однако оказывается, что это такие штуки, которые во многом похожи на векторы: для них тоже есть операции
ковектор + ковектор = ковектор
скаляр * ковектор = ковектор
Одна неприятность: их нельзя изобразить отрезком со стрелочкой. Но в абстрактном смысле, они тоже образуют линейное пространство - оно как раз и является сопряжённым.

Сделаем на время шаг обратно, в пространство со скалярным произведением. Там мы тоже можем рассматривать векторы как ковекторы: просто если вектор стоит по левую сторону от знака умножения, то он играет роль ковектора. И спросим себя: а только ли отрезком со стрелочкой мы можем изобразить вектор? Давайте сделаем так: зафиксируем какой-то вектор $\vec{a},$ и рассмотрим множество других векторов $\vec{b},$ для которых $\vec{a}\cdot\vec{b}=\mathrm{const}.$ Концы таких векторов образуют плоскость, перпендикулярную вектору $\vec{a}$ (для разных констант - разные плоскости, то есть в целом получается система плоскостей). Замечательно! То есть, мы можем вместо отрезка со стрелочкой, нарисовать систему плоскостей, пометив их: какая плоскость соответствует какой величине скалярного произведения. Оказывается, этот графический образ мы можем перенести и в пространство без скалярного произведения.

Итак, ковекторы - это некие штуки. Мы их можем складывать, умножать на число. Мы их можем умножать на векторы. Мы их можем даже изобразить, только не отрезком со стрелочкой, а другим графическим образом. После того, как вы с ними освоитесь, можно заметить вот такую штуку:
ковектор * вектор = скаляр
- это в точности то же самое, что и
функция (вектор) = скаляр
!!! Если функция линейная (и однородная, то есть в нуле даёт нуль), то для задания такой функции необходимо и достаточно задать ковектор. А каждый ковектор автоматически задаёт такую функцию. Поэтому ковекторы и такие линейные функции можно отождествить. Поэтому и говорят, что ковекторы - это такие функции. При определённом абстрактном мышлении, можно представить себе пространство функций, и заметить в нём структуру и свойства, которые мы перечислили. Поэтому, можно начинать с "пространства функций" как с определения сопряжённого пространства и ковекторов.