Ковектор

[Xaositect]

specialist в сообщении #1106559 писал(а):

$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial x}$ - тоже один форма (но уже компонента один формы $df$)
$\frac{\partial (x^2 + 3xy)}{\partial y}$ - тоже один форма

Нет, это не форма. Компонента - это не форма, а (в данном случае) непрерывная функция в пространстве.

Все похоже на векторы: есть мы рассматриваем вектор $v$ в базисе $i, j$, то в разложении $v = ai + bj$ у нас $v, i, j$ - векторы, а $a, b$ - числа (координаты вектора)
Если мы рассматриваем форму $df$ в базисе $dx, dy$, то в разложении $df = a(x, y) dx + b(x, y) dy$ будут $df, dx, dy$ - формы, а $a, b$ - действительные функции (компоненты формы). Это функции, а не просто числа потому, что в каждой точке пространства у нас свое разложение.

[specialist]

Xaositect в сообщении #1106561 писал(а):

Все похоже на векторы: есть мы рассматриваем вектор $v$ в базисе $i, j$, то в разложении $v = ai + bj$ у нас $v, i, j$ - векторы, а $a, b$ - числа (координаты вектора)
Если мы рассматриваем форму $df$ в базисе $dx, dy$, то в разложении $df = a(x, y) dx + b(x, y) dy$ будут $df, dx, dy$ - формы, а $a, b$ - действительные функции (компоненты формы). Это функции, а не просто числа потому, что в каждой точке пространства у нас свое разложение.

Я вас понял, но у меня возникает соответственный вопрос: в МТУ написано градиент частный случай 1-формы, то есть он тоже должен расписываться пр базису базис 1 форм, но как это выглядит?
$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}i(\frac{1}{H_1})+\frac{\partial f}{\partial y}j(\frac{1}{H_2})$
где $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ - базисные ковекторы
а $i(\frac{1}{H_1})$ и $j(\frac{1}{H_2})$ - векторные функции компоненты формы?

[Xaositect]

Что такое у Вас $H_1$, $H_2$, $i$ и $j$?

Все совершенно наоборот. Для градиента $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ - это компоненты, а не элементы базиса.

[Munin]

specialist в сообщении #1106542 писал(а):

Действительно мне трудно пользоваться понятиями: Вот пример из классической книги Картана: Дифференциальной формой степени $p$, определенной на $U$ и принимающей значения в $F$, называется отображение $\omega: U \to A_p (E; F)$
Поясните как этим пользоваться?

Сначала вам надо подняться по тексту выше, и выяснить, а что обозначается обозначениями $A_p$ и $E.$

Кроме того, перед дифференциальными формами надо изучить внешние формы. Дифференциальная форма - это (примерно) отображение из $U$ во внешние формы.

В евклидовом пространстве всё это попроще, чем сразу на многообразии, так что может быть, стоит последовательно изучить от простого к сложному.

-- 14.03.2016 18:03:53 --

specialist в сообщении #1106567 писал(а):

в МТУ написано градиент частный случай 1-формы

В дифформовой нотации, это записывается как $df.$

[specialist]

Xaositect в сообщении #1106591 писал(а):

Что такое у Вас $H_1$, $H_2$, $i$ и $j$?

Все совершенно наоборот. Для градиента $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ - это компоненты, а не элементы базиса.

хм.. а как же он тогда расписывается по базису?
тогда так: $\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x_1}e^1+\frac{\partial f}{\partial x_2}e^2$
где $ e^1 , e^2 $ -базисные ковекторы
"Кроме того, перед дифференциальными формами надо изучить внешние формы", я вас понял забавно но у Картана их нет, но я найду.
я понимаю, что нужно изучать от простого к сложному, проблема в том что часто авторы учебников строят учебник (особенно по дифформам) не самодостаточным, и начинается недомолвки и гуляния по литературе, вот вы изучили дифформы, можете написать какие основные области математики надо знать для их полного понимания, а я уже смогу оттолкнутся от списка и набрать литературы чтоб меньше задавать глупых вопросов.

[Slav-27]

С удивлением созерцаю я тему сию...

specialist
Вы с начала и до конца темы занимаетесь производством потоков бессмысленных слов и символов. Вам несколько человек и так и сяк пытаются объяснить хоть что-нибудь, а вы пишете, что вы сами с усами, и опять генерируете эти самые потоки.

Я предлагаю вам немножко поработать, а именно записать внятно ваши представления о тех объектах, о которых вы речь ведёте. Если вы не согласны поработать и опять считаете, что сами с усами, - то продолжение темы (по моему мнению) бессмысленно. (В дырявый сосуд что ни лей...)

Определённее, я предлагаю вам понять следующее:

1. Где вы живёте? (Предполагаемые варианты ответа: в области в векторном пространстве $\mathbb R^n$, на многообразии). (Где определена ваша функция $f$?)

2. Вы живёте в области в $\mathbb R^n$ (это простейший случай, поэтому рекомендую начать с него). Объясните (поймите) следующие понятия (дайте определения, где это надо):

NB: скалярного произведения пока нигде нет и не надо.
NB: слова "тензор", "кососимметрический", "дифференциал", "внешний" рекомендую при изучении этих вопросов (пока) не использовать, "ковекторы" называть 1-формами.

I. Линейная алгебра.
1) Векторное пространство $\mathbb R^n$, базис его, разложение вектора по базису, координаты в $\mathbb R^n$;
2) пространство, сопряжённое векторному пространству;
3) базис сопряжённого пространства; базис, взаимный с базисом "основного" пространства (как его построить?);
4) 1-форма (=ковектор); на каком пространстве она действует? какому пространству принадлежит?
5) разложение 1-формы по базису (по какому?);
6) свёртка 1-формы и вектора, её выражение через компоненты.
7*) Канонический изоморфизм векторного пространства и дважды сопряжённого к нему.

II.Теперь едем в вашу область в $\mathbb R^n$.
1) Пространство векторов из $\mathbb R^n$, приложенных к данной точке области (это будем называть "касательное прстранство в данной точке области"), базис этого пространства, разложение вектора касательного пространства по базису;
2) пространство, сопряжённое касательному пространству в данной точке области ("кокасательное"), его базис, взаимный базис;
3) векторное поле в области, его координатные функции;
4) дифференциальная 1-форма в области, её координатные функции; где она действует? как она действует?

5) Скалярное поле в области, гладкое скалярное поле в области, его частная производная по заданному направлению, вычисление её.
Пока хватит.

III. Потом можно ехать на многообразие... но пока не стоит.

Что вы читали?
Рекомендую:
Постников. Лекции по геометрии, семестр 2 (линейная алгебра).
Зорич - когда возникают проблемы с производными и т. п., но как первая книга про диф. формы не очень.
Булдырев, Павлов. Линейная алгебра и функции многих переменных. (Малоизвестная, даром что подробная, понятная, линейная и замкнутая.)
Картан для вас, скорее всего, пока хитроват; в любом случае советую разобраться сперва с линейной алгеброй и не соваться 1) в многообразия, 2) туда, где есть $\wedge$ (и вообще туда, где часто употребляется слово "тензор").

Того, что я выше написал, почти достаточно для получения ответов на вопросы, которые вас мучают.

[specialist]

Спасибо большое, за такой ответ, я постараюсь ответить на все вопросы (более того постараюсь написать ответы тут), но мне не понятно, я не нашел в правилах форума образца поведения вопрашающего, - он должен работать над вопросом, я задаю вопрос - мне отвечают, на основании ответа делаю утверждение, ну ладно оно неверное, я делаю следующее утверждение, оно снова неверное, и в цепочки данных утверждений я нахожу логическую связь между правильным ответом и поставленным вопросом, также обучаются нейронные сети, это процесс обучения, а вы получается фразой "Вы с начала и до конца темы занимаетесь производством потоков бессмысленных слов и символов" перечеркиваете процесс обучения, вообще говоря я вам благодарен, что вы предложили свой процесс обучения, я его изучу и использую, но мне не понятно в чем вы меня обвиняете? Если я нарушаю правила поведения на форуме, пожалуйста сообщите мне, но если я их не нарушаю - давайте будем равно и взаимовежливы.
Что я читал: В.И. Арнольд Математические методы классической механики
Н.В. Ефимов Введение в теорию внешних форм
А.Т. Фоменко Современная геометрия
Анри Картан Дифференциальное исчисление и дифференциальные формы
ну и куча физической литературы где дифформы появляются только отрывками.
я инженер и пытаюсь выцепить ту выжимку из литературы, которая мне бы разъяснила, что такое дифформа, как её представить, почему это так и как это использовать на практике, желательно в инженерных расчетах.
книги, которые вы рекомендовали, я не смотрел, просто никогда не встречал, надеюсь там будет много полезных примеров.
Еще раз большое спасибо вам, за расширенный ответ.
П.С. Возможно найдутся еще участники форума, которые посоветуют хорошие книги по дифформам с примерами?

[Munin]

specialist в сообщении #1106700 писал(а):

я инженер и пытаюсь выцепить ту выжимку из литературы, которая мне бы разъяснила, что такое дифформа, как её представить, почему это так и как это использовать на практике, желательно в инженерных расчетах.

В инженерных дифформы бесполезны :-) Они хороши примерно в теорфизике, где позволяют быстро увидеть и доказать несколько теорем - но эти теоремы далеки от инженерных расчётов.

+1 к Постникову, Арнольду, с осторожностью - Фоменко.
МТУ штука хорошая тоже.

[Brukvalub]

specialist в сообщении #1106700 писал(а):

я постараюсь ответить на все вопросы (более того постараюсь написать ответы тут)

Так вы уже на все вопросы ответили!
Вот самые содержательные ваши ответы:

specialist в сообщении #1106335 писал(а):

Не вижу смысла их давать, так как они уже даны, а если вы подразумеваете некий произвол в определениях, то само научное знание строится так чтоб произвола не было

specialist в сообщении #1106372 писал(а):

спасибо, кэп

specialist в сообщении #1106403 писал(а):

скорее так: "я и без вас все узнаю, но от гуманной помощи не откажусь, и сам её в случае предоставлю безвозмездно" если вы не хотите помогать безвозмездно, ну и удачи вам.

Очень самонадеянная "нейтронная сеть" получилась, зачем ее обучать, если она и сама лучше других знает, чему и как учить.

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106736 писал(а):

Очень самонадеянная "нейтронная сеть" получилась, зачем ее обучать, если она и сама лучше других знает, чему и как учить.

Вы тут немножко ошибаетесь -вы передаёте ваши бесценные знания, но вы не создаёте учебный процесс, это что то вроде интерактивного учебника, а учебники, бывают ясные и непонятные, поэтому ко всем учебникам надо относится скептически и если непонятно в одном, берешь другой и становится ясно (по крайней мере я так привык), правда бывают случаи когда литературы на тему мало), не знаю преподавали ли вы, но мне довелось выучить потоков пять, и были самые разные люди, как по мне - главное человека загрузить работой относительно его знаний и способностей, а умывать руки может каждый, удачи вам.
Часть ответов (я не претендую правильность и точность):
1)Пользуясь В.И. Арнольдом функция $f$ определена на $\mathbb R^n$, раз нет скалярного произведения, то в векторном пространстве не задана метрика,
но ничего не мешает выбрать $n$ разнонаправленных векторов в рассматриваемой точке, чтобы произвольно взятый вектор $b^i$ в этой точке однозначно раскладывался по $n$ векторам, и тогда $n$ векторов является базисом в $\mathbb R^n$
2) раз метрика не задана, то сопряженное пространство будет двойственно только по базисам и каждому базису в $\mathbb R^n$ соответствует базис $\mathbb R^{*n}$ и базисы будут связанны как, вот тут сложность, мне известно что если бы пространства были линейными, то и связь была бы в виде системы линейных уравнений, но метрика не задана и связь может быть черте какой и воспользуюсь словом "биекция" коротая будет подразумевать, хотя бы взаимобратный переход туда и обратно. А как связывают базисы правильно?

[Brukvalub]

specialist в сообщении #1106783 писал(а):

мне известно что если бы пространства были линейными, то и связь была бы в виде системы линейных уравнений,

Так они - линейные!. При рассмотрении дифференциала функции нескольких переменных с самого начала используется договоренность: в каждой точке аффинного ("точечного") пространства аргументов $R^n$ имеется касательное пространство векторов - арифметическое векторное пространство $R^n$, из которого берутся аргументы дифференциала гладкого отображения в фиксированной точке. Тем самым, дифференциал в фиксированной точке является линейным функционалом, определенным на касательном пространстве к этой точке, то есть элементом сопряженного пространства.
Все это должен был написАть не я, а вы, "кэп", но вы на предложение во избежание бесконечной путаницы начать от печки с определений предпочитаете отвечать отговорками типа " я и так все знаю, ведь я - нейтронная сеть!"

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106794 писал(а):

specialist в сообщении #1106783 писал(а):

мне известно что если бы пространства были линейными, то и связь была бы в виде системы линейных уравнений,

Так они - линейные!.

мне непонятно, если функция $f$ из векторного пространства $\mathbb R^n$ то это функция от векторов и она не может быть скаляром-инвариантом то есть числом?
или так сказать место где живут скаляры это уже не $\mathbb R^n$ а пространство получаемое с помощью метрики? (это мои сомнения, на которые мне сложно ответить? , будте добры-ответьте)
Значит есть линейность пространства определяется линейностью операций и метрика тут не причем (это предположение. я не нашел определение линейности пространства, тогда переход от базиса к двойственному в сопряженном пространстве будет описываться системой линейных уравнений:
3) пусть $e_i$ базис в основном пространстве $\mathbb R^n$ , в сопряженном $e^i$, тогда связь будет осуществляться $e_i e^j = {\delta_i}^j $ и что то больше ничем связать не могу, если есть напишите. Базис тоже будет собираться из $n$ разнонаправленных ковекторов, я вот не знаю если не определена метрика, то ортогональность двух векторов или ковекторов или угол между ними можно (то что разнонаправленны, это просто компоненты векторов или ковекторов не повторялись и небыли линейно зависимы)?

[Brukvalub]

Я дополнил свое сообщение выше, читайте.
Вам не нужно лезть в глубины, пока вы не разберетесь в основах. Для подготовки к изучению дифгеометрии и ее применений в физике идеально подходит учебник математического анализа В.А. Зорича, он и создавался именно для такой цели. Начните с чтения этого учебника, подтягивая знания по линейной алгебре изучением, например, учебника "А.И. Кострикин, Ю.И. Манин Линейная алгебра и геометрия".

[specialist]

Brukvalub в сообщении #1106807 писал(а):

Я дополнил свое сообщение выше, читайте.

арифметическое векторное пространство, оно включает в себя и вектора и ковектора? (если я вас обидел, назвав "кэпом" извините меня, насчет определений, видимо у вас есть, правильная книга с верными и понятными определениями, но у меня сложилось субъективное впечатление, что определения в книгах по дифформам, служат не для пояснения структуры рассматриваемого объекта, а скорее его связи с некоторыми пространствами или многообразиями, и зачастую эти связи функционально не определены, что мне как инженеру мешает понимать о какой связи идет речь, я попытаюсь найти хорошие определения и написать но чуть попозже)

-- 15.03.2016, 12:18 --

Brukvalub в сообщении #1106807 писал(а):

Я дополнил свое сообщение выше, читайте.
Вам не нужно лезть в глубины, пока вы не разберетесь в основах. Для подготовки к изучению дифгеометрии и ее применений в физике идеально подходит учебник математического анализа В.А. Зорича, он и создавался именно для такой цели. Начните с чтения этого учебника, подтягивая знания по линейной алгебре изучением, например, учебника "А.И. Кострикин, Ю.И. Манин Линейная алгебра и геометрия".

Спасибо, вам, хорошая книга всегда пригодится, большое спасибо.

[svv]

specialist в сообщении #1106815 писал(а):

арифметическое векторное пространство, оно включает в себя и вектора и ковектора?

Если у Вас область многообразия, то к каждой точке $p$ прикреплено одно векторное пространство, в котором живут все векторы в точке $p$ (называется касательное пространство, обозначается $T_p$), и другое векторное пространство, в котором живут все ковекторы в точке $p$ (называется кокасательное пространство, обозначается $T^*_p$). Кокасательное пространство является сопряжённым к касательному (см. план Slav-27, пункт I.2).

Если у Вас область в $\mathbb R^n$, то касательные пространства всех точек можно отождествить, но можно (как предлагает Slav-27, пункт II.1) этого и не делать, в конце концов, $\mathbb R^n$ тоже многообразие.

Как Вы думаете, почему не сделали по-простому и не ввели одно векторное пространство для векторов и 1-форм? (подсказка — см. определение векторного пространства)