потенциал в сферическом конденсаторе

[ULTROZY]

Здравствуйте.
Дан сферический конденсатор с зарядом $q$, радиусы внутренней и внешней сфер равны $r$ и $R$ соответственно $(R>r)$. Найти: напряжённость в точке, находящейся на расстоянии $x$ от центра конденсатора.
Моё решение:
Понятно, что при $x>R$ или $x<r$, то $E=0$ , больше интересует: что если $r<x<R$ :
Я проигнорил стандартную формулу

$$E=\frac{kq}{x^2},$$

которую я потом нашел в Инете, и изначально пошёл другим путём:
Я решил пойти через потенциалы, нашёл потенциалы: второй сферы и вне конденсатора

$$\varphi_2=0;$$

первой сферы и внутри её

$$\varphi_1=\frac{kq}{r}-\frac{kq}{R}=kq(\frac{1}{r}-\frac{1}{R}).$$

Тогда потенциал в точке на расстоянии x будет равен

$$\varphi(x)=kq(\frac{1}{x}-\frac{1}{R})=\frac{kq(R-x)}{Rx}.$$

Если взять нулевым потенциал на второй сфере, то напряжение

$$U(x)=\varphi(x)-\varphi_2=\frac{kq(R-x)}{Rx}.$$

Расстояние при этом равно $d(x)=R-x$ . Тогда

$$E(x)=\frac{U(x)}{d(x)}=\frac{kq}{Rx}.$$

Мой ответ отличается от настоящего в

$$\frac{R}{x}.$$

Подскажите, где в моем рассуждении ошибка?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[svv]

В том, что Вы заменили производную $E=-\frac{d\varphi}{dx}$, или, в новых обозначениях, $\frac{dU}{dD}$, отношением $\frac U D$. Так можно было бы делать, если бы $\frac U D$ было константой, в противном случае получается нечто, возможно, близкое, но приближённое.

Правильное вычисление (в рамках Вашего метода):

$$\frac{dU}{dD}=\frac d{dD}\frac {kqD}{R(R-D)}=kq\frac d{dD}\left(\frac 1{R-D}-\frac 1 R\right)=\frac{kq}{(R-D)^2}=\frac{kq}{x^2}$$

Я заменил Ваше $d$ на $D$, так как буква $d$ уже занята, она входит в обозначение производной.

[ULTROZY]

svv в сообщении #1106758 писал(а):

Правильное вычисление (в рамках Вашего метода):

$$\frac{dU}{dD}=\frac d{dD}\frac {kqD}{R(R-D)}=kq\frac d{dD}\left(\frac 1{R-D}-\frac 1 R\right)=\frac{kq}{(R-D)^2}=\frac{kq}{x^2}$$

Извините, можно немного объяснений насчет Ваших вычислений с дифференциалами. Просто я с дифференциальным исчислением довольно слабо знаком , в частности я не понимаю, как Вы выложили dU и dD.

[svv]

Самый простой путь решения задачи (не считая использования готовой формулы ) — это, безусловно, использование теоремы Гаусса: ответ получается мгновенно и в уме.

Через потенциал можно так: представляем суммарный потенциал в виде суммы потенциалов внутренней и внешней сферы. Между сферами потенциал внешней сферы — константа и вклада в $E_r$ не даёт. А потенциал внутренней равен $\frac{kq}r$. Отсюда
$E_r=-\frac{d\varphi(r)}{dr}=-\frac{d}{dr}\left(\frac{kq}r\right)=\frac{kq}{r^2}$
Здесь использована формула $\left(\frac 1 r\right)'=-\frac 1{r^2}$,
$r$ — расстояние от центра (переменное, $r_1<r<r_2$),
$E_r$ — радиальная компонента электрического поля.

[ULTROZY]

Огромнейшее Вам спасибо!!! Хоть я и начав читать про теорему Гаусса и увидев непонятный знак $\oint\limits_{}^{}$ сразу прекратил чтение (но я к теореме Гаусса ещё вернусь), я, прочитав некоторую инфу про дифференциалы, понял Вашу первую формулу:

svv в сообщении #1106758 писал(а):

$$\frac{dU}{dD}=\frac d{dD}\frac {kqD}{R(R-D)}=kq\frac d{dD}\left(\frac 1{R-D}-\frac 1 R\right)=\frac{kq}{(R-D)^2}=\frac{kq}{x^2}$$

А впоследствии допёр и до второй)):

svv в сообщении #1106869 писал(а):

$E_r=-\frac{d\varphi(r)}{dr}=-\frac{d}{dr}\left(\frac{kq}r\right)=\frac{kq}{r^2}$

Ещё раз спасибо Вам

[svv]

ULTROZY в сообщении #1106676 писал(а):

Я проигнорил стандартную формулу

$$E=\frac{kq}{x^2},$$

которую я потом нашел в Инете, и изначально пошёл другим путём:

ULTROZY в сообщении #1106996 писал(а):

понял Вашу первую формулу
...
А впоследствии допёр и до второй))

У Вас такие способности, а Вы их не развиваете! А за это время Вас обходят студенты более скромных способностей, которые не теряют времени. Им этого позволять нельзя! Вам нужно срочно научиться дифференцировать и интегрировать, и перед Вами откроется новый прекрасный мир.

-- Вт мар 15, 2016 21:52:50 --

(Оффтоп)

Иными, более спокойными словами, я хотел отметить противоречие между явным творческим потенциалом и тем, что Вас пугают интеграл и производная.

[Munin]

ULTROZY в сообщении #1106996 писал(а):

Хоть я и начав читать про теорему Гаусса и увидев непонятный знак $\oint\limits_{}^{}$ сразу прекратил чтение

Вам может помочь книжка
Зильберман. Электричество и магнетизм.
Простыми словами и (почти) без пугающих значков.