Диагональность матрицы "поворота" и зануление спинора.

[Ascold]

Если писать матрицы Дирака в киральном представлении, то несложно убедиться, что матрица лоренцевого преобразования 4-спинора имеет блочно-диагональный вид, т.е. если спинор записать в виде $\psi=\begin{pmatrix} \xi \\ \eta \end{pmatrix}$, то $\xi$ и $\eta$ преобразуются независимо, в связи с чем предлагается взять и занулить $\eta$ и далее рассматривать только поведение двухкомпонентного спинора для решения уравнений теории. Сколь это обосновано, например, если $\eta=\psi_R$, $\xi=\psi_L$?
Поле считается не ультрарелятивистским, если что, т.е. о случае, разобранном в теме topic105843.html речи не идёт, предлагается занулить $\psi_R$ ещё до накладывания каких-либо условий на движение.

[Munin]

Чем-то это напоминает спинор то ли Вейля, то ли Майораны. Я так и не научился им...

[Ascold]

Цитата:

Чем-то это напоминает спинор то ли Вейля, то ли Майораны

Так и есть, это из курсовой работы одного студента МГУ "Теория майорановского фермиона".
Попробую найти автора работы в соц. сетях и спросить у него лично.

[Munin]

Сначала почитайте матчасть. Это вещи общеизвестные, а не на уровне "одного студента МГУ".

[physicsworks]

При применении операции пространственной инверсии двухкомпонентный объект (спинор Вейля, а вообще-то Вайля) $\psi_L$ в представлении $(1/2,0)$ группы Лоренца преобразуется в объект $\psi_R$ в представлении $(0,1/2)$. Так что поодиночке $\psi_L$ или $\psi_R$ не являются базисом представления пространственной инверсии. Если работать при малых энергиях (меньше 100 GeV) не учитывая вклад слабого взаимодействия, которое нарушает пространственную инверсию, а учитывая только вклады сильного и электромагнитного взаимодействий, которые сохраняют пространственную инверсию, то естественно за базис принять поля, которые дают представление и группы Лоренца (собственной, ортохронной), и пространственной инверсии. Поэтому и удобно ввести дираковское поле (в киральном представлении) в виде столбца $(\psi_L, \psi_R)^T$, содержащего четыре комплексные компоненты. Дальше можно ввести операцию зарядового сопряжения, которая нужна при квантовании, когда появляются античастицы. Майорановский же спинор --- это спинор Дирака, в котором $\psi_L$ и $\psi_R$ не независимы, а связаны $\psi_R = i \sigma_2 \psi_L^*$, т.е. $\psi_M = (\psi_L, i \sigma_2 \psi_L^*)^T$. У майорановского спинора число степеней свободы -- две, как у двухкомпонентного спинора Вейля, хотя записывается он как дираковский спинор. Основное свойство майоранового спинора в том, что он инвариантен относительно взятия операции зарядового сопряжения: $\psi_M^{c} = \psi_M$.

С двухкомпонентными спинорами Вейля удобно работать в SUSY.

[Ascold]

Цитата:

Майорановский же спинор --- это спинор Дирака, в котором $\psi_L$ и $\psi_R$ не независимы, а связаны $\psi_R = i \sigma_2 \psi_L^*$, т.е. $\psi_M = (\psi_L, i \sigma_2 \psi_L^*)^T$.

Тогда тем более непонятно, почему люди зануляют $\psi_R$, по идее ведь тогда и $\psi_L$ занулится. Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан?

[physicsworks]

Ascold в сообщении #1103717 писал(а):

Тогда тем более непонятно, почему люди зануляют $\psi_R$, по идее ведь тогда и $\psi_L$ занулится. Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан?

Двухкомпонентные спиноры $\psi_L$ и $\psi_R$, из которых строится Лагранжиан
$\mathcal{L}_{Dirac} = i \psi_L \overline{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu}\psi_L + i \psi_R \sigma^{\mu} \partial_{\mu}\psi_R - m (\psi_L^{\dagger} \psi_R + \psi_R^{\dagger} \psi_L)$
не зануляются, да и не могут занулиться, если сохраняется пространственная инверсия (см. ответ выше), которая переводит один спинор в другой и оставляет инвариантным Лагранжиан. В безмассовом режиме зануляются компоненты 4-спиноров $u^s(p)$ и $v^s(p)$ из которых строится решение уравнений движения свободной частицы. Причем зануляются эти компоненты хитро: например, в $u^1$ остается только правовинтовая часть, а в $u^2$ --- левовинтовая часть, так что опять нельзя избавиться от либо той, либо другой. При квантовании все это отражается на спиральности частиц и античастиц.

Ascold в сообщении #1103717 писал(а):

Где можно подробно почитать про майорановский фермион, в особенности про то, как строится его лагранжиан?

Выше я написал что такое майорановский фермион. Если взять уравнения движения, получающиеся из вышенаписанного Лагранжиана и заменить $\psi_R$ на $i\sigma^2\psi_L^*$ (который преобразуется по тому же представлению группы Лоренца), то получим
$i\overline{\sigma}^{\mu} \partial_{\mu} \psi_L = m i\sigma^2\psi_L^*$ плюс аналогичное комплексно споряженное уравнение.
Применяя к обеим частям $\sigma^{\nu}\partial_\nu$, получим уравнения Клейна--Гордона для $\psi_L$:
$(\Box + m^2)\psi_L = 0$.
Таким образом, мы получили массовый член, содержащий только $\psi_L$. Он называется майорановским. Теперь удобно ввести четырехкомпонентный спинор $\Psi_M = (\psi_L, i\sigma^2 \psi_L^*)^T$. Тогда уравнения движения можно переписать в виде подобном уравнению Дирака:
$(i \slashed{\partial} - m)\Psi_M = 0$ (здесь $\partial$ должна быть перечеркнутой, но здешний TeX \slashed почему-то не хавает)
Казалось бы, это уравнение можно вывести из дираковского Лагранжиана, заменив всюду $\Psi$ на $\Psi_M$. Но здесь возникает одна тонкость. А именно:
$\overline{\Psi}_M\Psi_M = - i \psi_L^T\sigma^2 \psi_L + h.c.$
если считать вейлевское поле $\psi_L$ обычными (коммутирующими) комплексными числами, то правая часть уравнения выше (в компонентах)
$\psi_{L,A}\sigma^2_{AB}\psi_{L,B}$
обращается тождественно в нуль ($\sigma^2_{AB}$ антисимметрична по $(A,B)$). Так что уже в классическом действии, еще до процедуры квантования, мы должны считать вейлевское поле $\psi_L$ антикоммутирующим. Здравствуйте, грассмановы числа!

Дальше можно почитать Langacker, The Standard Model and Beyond.

[Ascold]

Цитата:

Основное свойство майоранового спинора в том, что он инвариантен относительно взятия операции зарядового сопряжения: $\psi_M^{c} = \psi_M$.

с точностью до представления: пусть есть фермион $\psi=\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R\end{pmatrix}.$ Если определить зарядовое сопряжение как у Боголюбова и Ширкова $\psi^C=\psi^TC,$ где $C=\gamma^0\gamma^2$ и киральное представление в блочно-диагональном виде $\gamma^\mu=\begin{pmatrix}0 & \sigma^\mu \\ \bar\sigma^\mu & 0\end{pmatrix},$ то для $\psi^M$ получится $(\psi^M)^C=\begin{pmatrix}-\sigma^2\psi_R^* \\ \sigma^2\psi_L^*\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-i\psi_L \\ \sigma^2\psi_L^*\end{pmatrix}$. Чтобы $\psi_M^{c} = \psi_M$ здесь потребуется наложить условие $\psi_R=\sigma^2\psi_L^*$, но это мелочи.
У меня изначально задача была такая: есть лагранжиан

$$L=i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi-\frac{m}{2}(\bar\psi^C\psi+\bar\psi\psi^C)~~~~~~~~ (1),$$

а я ищу общее решение уравнений движения. В постановке задачи не сказано, чего-либо про майорановский фермион. Я расписал поле $\psi=\begin{pmatrix} \psi_L \\ \psi_R\end{pmatrix}.$, тогда лагранжиан можно представить в виде суммы $L=L_L+L_R$ и при условии майорановости спинора (c антикомммутативностью) получается $L_L=L_R$, что позволяет дальше всё выражать через двумерный спинор $\psi_L$, что вполне естественно из-за двух степеней свободы $\psi^M$.
Но как до использования $\psi=\psi^C$ догадаться лишь из вида лагранжиана?
Легко доказать, что лагранжиан с точностью до несущественной дивергенции инвариантен относительно зарядового сопряжения, но из этого, по-моему, не следует, что д.б. $\psi=\psi^C$.
Если не накладывать условий антикоммутации и зарядовой самосопряжённости на поле, то полевые ур-я будут уравнениями Вейля.
Если накладывать оба, то получится майорановский фермион.
Я пробовал наложить одно лишь требование антикоммутации на $\psi$ и $\psi^*$ и далее решить полевые уравнения как ур-е Дирака - бустом стационарных решений, получается как-то громоздко, не так изящно, как решение ур-я Дирака, пока не довёл до конца.
Есть ли способ увидеть, что лагранжиан (1) непременно требует майорановости $\psi$?