Два с половиной вопроса о различных математических традициях

[math_question]

1) Является ли (математическая) логика (и изучение формальных языков вообще) математикой?
2) Является ли инфинитизм и "канторианство" преобладающей т.з. на математику среди математиков?
2.5) Можно ли сказать, что конструктивисты - маргиналы в математическом сообществе?

[arseniiv]

1. А почему нет? Формулируются математически строго.

[mihailm]

Открываем математическую энциклопедию и просвещаемся.
1) см. там статью математическая логика
2) инфинитизм - это че? Канторианство преобладает, но это не точка зрения.
2.5) см. статью конструктивная математика и ищем там выражения типа: "нормальные пацаны математики этим отстоем не занимаются"

[Xaositect]

1) Да.
2) Нет таких точек зрения, как "инфинитизм" и "канторианство". Поясните, что Вы имеете в виду.
2.5) Я бы сказал, что в принципе мало тех математиков, которые имеют четкую позицию по основаниям. Это никому не нужно, как в квантовой физике, "заткнись и доказывай".

[math_question]

mihailm в сообщении #1105554 писал(а):

2) инфинитизм - это че? Канторианство преобладает, но это не точка зрения.

"Инфинитизм", видимо, некорректное слово в данном контексте, вместо него надо читать "понятие актуальной бесконечности". Название работы Кантора "Die Mengenlehre", eсли перевети дословно, "учение о множествах" или соотв. "доктрина".

Цитата:

2.5) см. статью конструктивная математика и ищем там выражения типа: "нормальные пацаны математики этим отстоем не занимаются"

Из работы Н. Вавилова "Не совсем наивная теория множеств":

Цитата:

Совершенно особое место во всей околоматематической литературе, по существу про-
межуточное между религией, идеологией, логикой и философией, занимают труды по ло-
гицизму, интуиционизму, конструктивизму и другим сектантским направлениям в области
‘оснований математики’, которые поддерживались их представителями с фанатизмом и ре-
лигиозным рвением (‘война мышей и лягушек’), со всеми атрибутами идеологической борь-
бы, типа ссылок на марксизм и пр. В мировоззренческом плане дискуссии об основаниях
не оказали никакого влияния на позицию подавляющего большинства математиков, но на
определенном этапе своего развития конкретные исследования в области интуиционистской и
конструктивной математики были инкорпорированы в классическую математику и в насто-
ящее время являются вполне респектабельными, хотя и весьма эзотерическими разделами
теории алгоритмов, теории булевых алгебр и топосов.

[mihailm]

Не понял, как тогда звучит второй вопрос?
2.5) Т.е. вас интересует, сохранилась ли респектабельность в настоящее время? Сохранилась!

[math_question]

Согласно Н. Вавилову, логика занимает в матиматике вспомогательную роль, по отношению к истинному предмету изучения математики:

Цитата:

Логика и математика тесно связанные, но глубоко различные науки. В пер-
вую очередь различны руководящие идеи и методы этих наук и, в особенности,
ментальность математиков и логиков. Логика всегда интересовалась глав-
ным образом разложением доказательств на возможно большее число возмож-
но меньших шагов, в то время как основная цель математики – поиск наиболее
мощных и экономичных способов рассуждения, позволяющих охватывать од-
ним взглядом громадные области внешне не связанных между собой явлений.
Основные критерии ценности в чистой математике – это сила, красота и эф-
фективность.
В целом связь математики с логикой не более тесная, чем, скажем, с физи-
кой, астрономией, лингвистикой, музыкой или биологией. Многие математики
глубоко интересовались логикой – но, видимо, еще больше таких, кто глубо-
ко интересовался физикой и естественными науками, или, скажем, музыкой,
искусством, историей или психологией.
Роль логики в математике в целом такая же, как роль грамматики в лите-
ратурном творчестве. Как показывает опыт, знание грамматики не является,
вообще говоря, ни необходимым,ни достаточным для грамотного письма. Изу-
чение грамматики в школе может частично компенсировать отсутствие у уче-
ника навыка грамотности, но целью обучения как раз и является выработка
автоматизма, после чего все грамматические правила могут быть благополуч-
но забыты. Точно так же роль логики в математике состоит в том, чтобы
избегать очевидных ошибок в рассуждениях. Но одной из целей обучения ма-
тематике как раз и является выработка автоматизма, после чего логические
правила могут быть забыты. Более того, грамотному письму можно научить и иначе, без формальной грамматики, “по образцам”.

[mihailm]

Ну в целом вполне профессиональное высказывание (другое дело, вот вы math_question, профессионал?). Да, некоторая обособленность матлогики есть, но в настоящее время матлогика изучается с помощью математических методов и поэтому и относится к математике. Кстати, где как не в матлогике отрабатывать "поиск наиболее мощных и экономичных способов рассуждения, позволяющих охватывать одним взглядом..."

[math_question]

mihailm в сообщении #1105565 писал(а):

Не понял, как тогда звучит второй вопрос?

Является ли понятие актуальной бесконечности, трансфинитные числа и проч. понятия и инструменты для работы с бесконечными числами, предложенные Кантором и последователями, общепринятой парадигмой (теорией?) в основании математики, и соотв., всех других дисциплин, основанных на математике, т.е. вообще всех наук? Понятно, что для теоретической информатики (theoretical computer science) это не так, и информатике ближе конструктивный подход, а вспомогательная роль отводится как раз актуальным бесконечностям. Означает ли это, что теоретическая информатика не является наукой (есть такое мнение) или является наукой второго сорта?

[Xaositect]

math_question в сообщении #1105573 писал(а):

Является ли понятие актуальной бесконечности, трансфинитные числа и проч. понятия и инструменты для работы с бесконечными числами, предложенные Кантором и последователями, общепринятой парадигмой (теорией?) в основании математики, и соотв., всех других дисциплин, основанных на математике, т.е. вообще всех наук?

Общепринятым основанием математики является ZFC, иногда с добавлением универсумов Гротендика или чего-нибудь такого, но большинство результатов непосредственно никак не связаны с этим основанием и на самом деле может быть формализована более-менее одинаково в разных системах основания математики, в конструктивизме просто вылезут кванторы "не может не существовать" местами.

Цитата:

Означает ли это, что теоретическая информатика не является наукой (есть такое мнение) или является наукой второго сорта?

TCS это часть математики, это консенсус среди специалистов по TCS.

[mihailm]

Все равно не понял. Как понятие и инструменты могут быть парадигмой/теорией?
Далее, про использование математики в физике (химии и т.д.) - это не к математикам, они матметоды не лицензируют). Пусть физики и отвечают за использование математики. Надо у них спросить, часто ли матметоды приводят к неверным результатам в практике?
А теоретическая информатика - это (по моему) примерно тоже самое, что и теоретический секс (и появившиеся в итоге теоретические дети).

[Anton_Peplov]

math_question в сообщении #1105573 писал(а):

Является ли понятие актуальной бесконечности

Может быть, мне кто-нибудь объяснит, наконец, что такое эта "актуальная бесконечность" и чем она отличается от "потенциальной"? Когда я учился в детском саду, воспитательница нимфа пела мне, что множество называется бесконечным, если для любого натурального $n$ в нем найдется $n$ элементов. Также она пела про различные мощности и про то, что булеан множества всегда мощнее самого множества. А вот про актуальную и потенциальную бесконечность она ничего не пела.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1105613 писал(а):

Может быть, мне кто-нибудь объяснит, наконец, что такое эта "актуальная бесконечность" и чем она отличается от "потенциальной"? Когда я учился в детском саду...

От Вас в детском саду скрыли часть правды.

По Вашему вопросу: я бы мог посоветовать ознакомиться с этой работой. (К сожалению, я не достаточно компетентен, чтобы взять на себя перевод хотя бы основных идей и выводов. Хотя мне интересно иметь по этому вопросу какое-то общее представление и со временем его оттачивать. Но да -- это всё маргинально и/или на задворках современной математики.)

[Anton_Peplov]

grizzly в сообщении #1160833 писал(а):

От Вас в детском саду скрыли часть правды.

Да. Эту часть правды я усвоил много позже детского сада и благодаря dxdy (возможно, даже именно цитированному сообщению). Не помню, почему я не упомянул ее в своем сообщении. Возможно, мне показалось, что к неведомому мне различению потенциальной и актуальной бесконечности все эти фокусы с аксиомой выбора отношения не имеют.

grizzly в сообщении #1160833 писал(а):

это всё маргинально и/или на задворках современной математики.

Собственно, это все, что мне по этому вопросу сейчас стоит знать.

[grizzly]

Anton_Peplov в сообщении #1160836 писал(а):

Собственно, это все, что мне по этому вопросу сейчас стоит знать.

На форуме обычно реакция на вопросы по этой теме неоправданно жёсткая. Поэтому, имхо, важно ещё знать, что это не фоменковщина, не лженаука, не альты и т.п.