Как я понимаю,
-ичная запись вещественного числа обосновывается следующим образом.
Сначала с использованием принципа архимеда и подобного обосновывается алгоритм или возможность построения по вещественному числу
последовательности приближающих рациональных чисел
, где
,
причем таких, что
.
Понятно, что
и, если
, то рано или поздно будет
.
Но как показать, что если
, то последовательности цифр
и
, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, будут разные? Вдруг разным последовательностям цифр начиная с некоторого номера соответствуют одинаковые суммы
.
Если
, то
, то есть правая граница приближения остается неподвижной и отличной от
, поэтому такая последовательность не может удовлетворять условию
.
Итак, пусть теперь рассматриваются только те последовательности, в записи которой сколь угодно далеко встречаются
. Как доказать, что при этом условии запись числа однозначна, то есть разным таким последовательностям цифр соответствуют разные вещественные числа?