Как я понимаю,

-ичная запись вещественного числа обосновывается следующим образом.
Сначала с использованием принципа архимеда и подобного обосновывается алгоритм или возможность построения по вещественному числу

последовательности приближающих рациональных чисел

, где

,
причем таких, что

.
Понятно, что

и, если

, то рано или поздно будет

.
Но как показать, что если

, то последовательности цифр

и

, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, будут разные? Вдруг разным последовательностям цифр начиная с некоторого номера соответствуют одинаковые суммы

.
Если

, то

, то есть правая граница приближения остается неподвижной и отличной от

, поэтому такая последовательность не может удовлетворять условию

.
Итак, пусть теперь рассматриваются только те последовательности, в записи которой сколь угодно далеко встречаются

. Как доказать, что при этом условии запись числа однозначна, то есть разным таким последовательностям цифр соответствуют разные вещественные числа?