Однозначность десятичной записи числа

[ellipse]

Как я понимаю, $q$-ичная запись вещественного числа обосновывается следующим образом.

Сначала с использованием принципа архимеда и подобного обосновывается алгоритм или возможность построения по вещественному числу $x>0$ последовательности приближающих рациональных чисел

$r_n = a_pq^p+a_{p-1}q^{p-1}+\cdots + a_{p-n}q^{p-n}$, где $a_i\in\{0,\dots,q-1\},\ a_p\ne 0$,

причем таких, что

$r_n \le x < r_n+q^{p-n}$.

Понятно, что $r_n\to x$ и, если $x'\ne x''$, то рано или поздно будет $r_n' \ne r_n''$.

Но как показать, что если $x'\ne x''$, то последовательности цифр $a_i'$ и $a_i''$, удовлетворяющие вышеуказанным условиям, будут разные? Вдруг разным последовательностям цифр начиная с некоторого номера соответствуют одинаковые суммы $r_n$.

Если $\forall i>k\ a_i=q-1$, то $ r_n+q^{p-n}= r_k+q^{p-k}$, то есть правая граница приближения остается неподвижной и отличной от $x$, поэтому такая последовательность не может удовлетворять условию $r_n \le x < r_n+q^{p-n}$.

Итак, пусть теперь рассматриваются только те последовательности, в записи которой сколь угодно далеко встречаются $a_i \ne q-1$. Как доказать, что при этом условии запись числа однозначна, то есть разным таким последовательностям цифр соответствуют разные вещественные числа?

[bot]

ellipse в сообщении #1105510 писал(а):

пусть теперь рассматриваются только те последовательности, в записи которой сколь угодно далеко встречаются $a_i \ne q-1$

Проще сказать - не оканчивающиеся бесконечным числом девяток циферок $q-1.$
Погуглите 10-ичное представление и замените 10 на q.
Коротко так: в вашем случае числа, представляемые разными последовательностями будут разделяться рациональным числом между ними. Для этого надо ввести отношение меньше: $a<b$, если найдётся приближение первого числа сверху, которое меньше некоторого приближения второго числа снизу.