Expression's value

[ins-]

Let $a$, $b$, $c$, $d$ are real numbers such that:

$a+b+c+d=1$

$a^2+b^2+c^2+d^2=1$

$a^3+b^3+c^3+d^3=1$

Find the value of the following expression:

$a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd$

(Оффтоп)

It is a problem I just created. I know how to solve it, but I'm interested to see different ideas.

[DeBill]

1. Можно - технически: выражая через элементарные симметрические, получим $S_1 = 1, S_2 =0, S_3 = 0$. По Виету, наши числа - корни многочлена $x^4 -x^3 + 0\cdot x^2 - 0\cdot x +A = 0$. Из графика его видим: 4 корня - только при $A=0$...
2. Можно - по К-Б: скалярное произведение векторов $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c},\sqrt{d})$ и $(\sqrt{a^3},\sqrt{b^3},\sqrt{c^3},\sqrt{d^3})$ равно произведению их длин, значит, они коллинеарны... (проходит только для неотрицательных чисел)
3. А можно совсем по-детски: Сумма квадратов равна 1, значит, все числа - малы. Но тогда их кубы - еще меньше (по модулю, меньше квадратов)... Значит, одно из них равно 1, а остальные - нули...

-- 08.03.2016, 22:08 --

4. Качественное техническое: подставляя $a=b=1,c=-2,d=0$ и $a=b=-c=-d=1$, обнаруживаем, что expression выражается только через первые три элементарных симметрических. Значит, его можно сосчитать на любой подходящей четверке чисел (например, $a=1, b=c=d=0$). Ответ:1.

[ins-]

It can be expressed even if instead of 1, 1, 1 we put a, b, c. Pure algebraic approach is also possible - to compose it used some strange not very well known identities. I put these equalities in a software as a system and if I'm not wrong - it is not required that one of the variables to be equals to 1.

[DeBill]

Забавно: условие вещественности чисел - лишнее (ну, если хотя бы одна четверка угадывется). А вот если не угадывается - и все-таки явно выразить все через элементарные - то оно может все испортить...

[ins-]

It is easy to guess the value, but for some similar problems the expressions can achieve more than one value. I can provide such an example.

[DeBill]

ins- в сообщении #1105130 писал(а):

It can be expressed even if instead of 1, 1, 1 we put a, b, c.

Четвертое решение проходит и в этом случае

-- 08.03.2016, 22:26 --

потому что

DeBill в сообщении #1105122 писал(а):

expression выражается только через первые три элементарных симметрических.

[ins-]

If we write $a+b+c+d=u$, $a^2+b^2+c^2+d^2=v$, $a^3+b^3+c^3+d^3=w$ there exists a formula for the expression's value in terms of $u$, $v$, $w$ and the problem can be solved in this case by pure algebra without using "симметрических" polynomials. I used 1,1,1 instead of u,v,w because it looks better. I'm also interested if giving some nice values for u, v, w the value of some expression in the form $a^n+b^n+c^n$ where $n$ is a natural number can be found. For example $a^6+b^6+c^6$.

[ins-]

Here is what I had in mind to solve the problem in a pure algebraic way.

(Оффтоп)

The following identities can be used:

1)$(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$

2)$(a+b+c+d)(a^2+b^2+c^2+d^2-ab-ac-ad-bc-bd-cd)=a^3+b^3+c^3+d^3-3(abc+abd+acd+bcd)$

3)$(a^2+b^2+c^2+d^2)^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)^2+4(a+b+c+d)(ab c+bcd+cda+dab)=a^4+b^4+c^4+d^4+4abcd$

[DeBill]

ins-
Expression$= \frac{4}{3} \cdot u \cdot w + \frac{1}{6} u^4 -u^2 \cdot v + \frac{1}{2} v^2$

Общая теорема о симметрических говорит, что каждый симметрический многочлен есть многочлен от элементарных симметрических (т.е., тех, что появляются в теореме Виета. Но можно в качестве элементарных взять и суммы степеней - с первой по четвертую, как у Вас). Тогда : (пусть $Z=a^4+b^4+c^4+d^4$) : $abcd = P(u,v,w,Z) =AZ + Buw+Cu^2v +Dv^2 +Eu^4$. Подставляя конкретные значения для $a,b,c,d$, получим систему для $A,B,C,D,E$.... То есть, это чистая техника. И годится для любых симметрических многочленов.

[ins-]

It seems, it is useful to know some theory :). Are these polynomials give some other nice expression's values for some good values of $u$, $v$, $w$? The reason for asking this is I saw a problem $a+b+c=0$, $a^2+b^2+c^2=1$, find $a^4+b^4+c^4$. I tried to compose something similar to this. Finding such identities that I posted as off-topic is not easy, maybe composing similar problems is easier by using more advanced theory. Some similar problems are composed using geometric, trigonometric or vector properties.