Тройки вещественных чисел

[kp9r4d]

Пусть $(a,b,c)$ - тройка вещественных чисел. Для любого вещественного $t$ мы можем делать с этой тройкой следующие операции:
1) Перейти от $(a,b,c)$ к $(t^2 a, b, t c)$
2) Перейти от $(a,b,c)$ к $(a, t^2 b, t c)$
3) Перейти от $(a,b,c)$ к $(a^2, b^2, c^2)$
Можем ли мы из $(1,1,\frac{1}{4})$ получить $(1,1,\frac{1}{2})$ при помощи этих операций?

[Xaositect]

Нет. Множество троек, которые можно получить из заданной точки $(a_0, b_0, c_0)$, является объединением счетного числа поверхностей второго порядка. Найдите уравнения этих поверхностей и все станет понятно.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[kp9r4d]

Xaositect
Спасибо! Изменится ли что-нибудь, если добавить операцию $(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$?

[DeBill]

Или какой-нить частичный инвариант попробовать, типа $\frac{ab}{c^2}$...(для исходной задачи)

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #1105090 писал(а):

Xaositect
Спасибо! Изменится ли что-нибудь, если добавить операцию $(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$?

В любом случае удобнее будет профакторизовать по первым двум операциям, то есть перейти к тому самому $ab:c^2$, про который говорит DeBill, а дальше смотреть, как Ваше линейное преобразование меняет этот инвариант. По прикидкам у меня получается, что можно перейти от любой точки к любой.

[kp9r4d]

Хорошо, я примерно понял идею вашего решения.

Xaositect в сообщении #1105095 писал(а):

По прикидкам у меня получается, что можно перейти от любой точки к любой.

Это было бы очень здорово, спасибо в любом случае!

[kp9r4d]

Не совсем все, как минимум, все эти преобразования сохраняют неравенство $c^2 \leqslant |a||b|$

-- 08.03.2016, 19:40 --

Вот ещё один вариант условий (на данный момент - самый приоритетный). Преобразования:
$(a,b,c) \to (t^2 a,b,t c), t \neq 0$
$(a,b,c) \to (b,a,c)$
$(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$
можно ли из $(1,1,0)$ получить $(1,1,q), q \neq 0$ (хоть для какого-нибудь $q$, не обязательно для всех)?

[svv]

О, это и я могу!

$$(1,1,0)\stackrel{1}{\to}(q^2,1,0)\stackrel{2}{\to}(1, q^2,0)\stackrel{1}{\to}(p^2, q^2,0)\stackrel{3}{\to}(p^2+q^2, p^2+q^2, p^2-q^2)$$

Надо только, чтобы $p^2+q^2=1$ и $p^2, q^2\notin \{0,\frac 1 2,1\}$.

[kp9r4d]

svv
Вы очень клёвый, спасибо :3