2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 16:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Пусть $(a,b,c)$ - тройка вещественных чисел. Для любого вещественного $t$ мы можем делать с этой тройкой следующие операции:
1) Перейти от $(a,b,c)$ к $(t^2 a, b, t c)$
2) Перейти от $(a,b,c)$ к $(a, t^2 b, t c)$
3) Перейти от $(a,b,c)$ к $(a^2, b^2, c^2)$
Можем ли мы из $(1,1,\frac{1}{4})$ получить $(1,1,\frac{1}{2})$ при помощи этих операций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 17:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Нет. Множество троек, которые можно получить из заданной точки $(a_0, b_0, c_0)$, является объединением счетного числа поверхностей второго порядка. Найдите уравнения этих поверхностей и все станет понятно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.03.2016, 17:02 
Модератор


19/10/15
1196
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 17:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Xaositect
Спасибо! Изменится ли что-нибудь, если добавить операцию $(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 17:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Или какой-нить частичный инвариант попробовать, типа $\frac{ab}{c^2}$...(для исходной задачи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
kp9r4d в сообщении #1105090 писал(а):
Xaositect
Спасибо! Изменится ли что-нибудь, если добавить операцию $(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$?
В любом случае удобнее будет профакторизовать по первым двум операциям, то есть перейти к тому самому $ab:c^2$, про который говорит DeBill, а дальше смотреть, как Ваше линейное преобразование меняет этот инвариант. По прикидкам у меня получается, что можно перейти от любой точки к любой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 18:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Хорошо, я примерно понял идею вашего решения.
Xaositect в сообщении #1105095 писал(а):
По прикидкам у меня получается, что можно перейти от любой точки к любой.

Это было бы очень здорово, спасибо в любом случае!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 20:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Не совсем все, как минимум, все эти преобразования сохраняют неравенство $c^2 \leqslant |a||b|$

-- 08.03.2016, 19:40 --

Вот ещё один вариант условий (на данный момент - самый приоритетный). Преобразования:
$(a,b,c) \to (t^2 a,b,t c), t \neq 0$
$(a,b,c) \to (b,a,c)$
$(a,b,c) \to (a+b+2c,a+b-2c,a-b)$
можно ли из $(1,1,0)$ получить $(1,1,q), q \neq 0$ (хоть для какого-нибудь $q$, не обязательно для всех)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 21:25 
Заслуженный участник


23/07/08
10626
Crna Gora
О, это и я могу!$$(1,1,0)\stackrel{1}{\to}(q^2,1,0)\stackrel{2}{\to}(1, q^2,0)\stackrel{1}{\to}(p^2, q^2,0)\stackrel{3}{\to}(p^2+q^2, p^2+q^2, p^2-q^2)$$Надо только, чтобы $p^2+q^2=1$ и $p^2, q^2\notin \{0,\frac 1 2,1\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки вещественных чисел
Сообщение08.03.2016, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
svv
Вы очень клёвый, спасибо :3

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group