Численное решение задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора

[doun]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Надеюсь с разделом не ошибся.

Помогите разобраться в численном решении задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора с помощью разностного метода.
Вот например есть уравнение $u''+p(x)u=\lambda u$,x\in(a,b) с условием $u(a)=\alpha,u(b)=\beta$.
Задаю сетку с шагом $h$, составляю разностную схему и получаю систему уравнений $u_{n-1}-(2-h^2p_n+h^2\lambda)u_n+u_{n+1}=0,u_0=\alpha,u_N=\beta$, $n=1,..,N-1$.
В литературе говорится, что дальше решается задача на с.з. и с.в. матричного оператора. Правильно ли я понимаю, что оператор
получается следующего вида:

$A=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 1 & -(2-h^2p_1) & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & -(2-h^2p_2) & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots & \cdots & \ddots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & 0 & 1 & -(2-h^2p_{N-1}) & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \beta \end{array}\right)$

И теперь задача стоит в решении матричного уравнения $Au=\lambda u$?
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю?
И еще один вопрос, что делать в случае периодических условий на границе? Задавать $u_0$, и $u_N$ любыми одинаковыми числами?
Спасибо.

[DeBill]

doun
1. В задаче на с.з. для диф. оператора надо задавать ОДНОРОДНЫЕ граничные условия: $\alpha =0, \beta =0$. Вот с этой задачи и начнем.
2. для однородных гр. условий: надо у Вашей матрицы (она имеет размер $(N+1) \times (N+1)$) убрать крайние строки и столбцы, и тогда действительно получится задача о с.зн. и с.в. для матрицы. Как их искать? Ну, для не больших $N$, легко. А в общем случае, можно положить $u_1 = a$, и последовательно найти все $u_n$. Из последнего ур-я найдем $\lambda$.
3. Для периодических гр. условий:
а) для периодической $p$ гр. условия можно задавать так: периодичность "$u$" ($u_0 = u_N, u_1 = u_{N+1},...$) $+$ выполнение уравнения в точке $N$. В матрице появится новая строка (для ур-я в точке $n=0$, и столбец (для переменной $u_0$), и теперь в матрице не будет "куцых" строчек (с двумя ненулевыми элементами), везде будет их 3.
б) для непериодической $p$(?). Все аналогично, только вместо выполнения ур-я в точке $u_N$, надо записать условие равенства производных: $u_1 - u_0 = u_N - u_{N-1}$ . По сравнению с а) испортится только последнее уравнение.

-- 06.03.2016, 14:39 --

Решать - также.
4. Для неоднородных гр. условий. Это не будет задача на с.зн. для матрицы. Но решать можно, и также. Вот только в Вашей матрице: надо убрать первую и последнюю строчки, обозначить как раньше, $u_1=a$, последовательно выразить все $u_n$, и из равенства $u_N = \beta $ найти $a$. Вот только результат будет резко отличаться от результата для однородных: $a$ удастся найти, только если $\lambda$ НЕ есть собственное значение ....

[doun]

DeBill

Спасибо за столь развернутый ответ! Я хочу разобраться с задачей приводящей именно к матричному уранению потому как с его численным решением все хорошо у меня. Собственно основная проблема в том, что я не очень понимаю куда "засовывать" граничные условия. До Вашего ответа я считал, что в численном решении задачи на с.з. и с.ф. не обязательно сводить ее к задаче с однородными граничными условиями, все таки не аналитическое решение. Да и в добавок, если я правильно понимаю, например, методу стрельбы вообще не важно однородные граничные условия или нет.

Теперь, если я правильно понял, получается, что только в случае первой краевой задачи решение сводится к задаче на с.з.
матрицы? А в случае периодических условий на границе нужно "ручками" выражать значения функций в новых узлах через
значения в предыдущих узлах и неизвестный параметр, а потом решать задачу о поиске корней полинома?

[DeBill]

doun
Ну, в случае 2а) (а именно он и хорош для периодической задачи) также получается задача на собственные значения матрицы. А вот для 2б) -все не очень хорошо...