2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Численное решение задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора
Сообщение06.03.2016, 12:22 


29/08/11
14
Доброго времени суток, уважаемые форумчане!
Надеюсь с разделом не ошибся.

Помогите разобраться в численном решении задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора с помощью разностного метода.
Вот например есть уравнение $u''+p(x)u=\lambda u$,x\in(a,b) с условием $u(a)=\alpha,u(b)=\beta$.
Задаю сетку с шагом $h$, составляю разностную схему и получаю систему уравнений $u_{n-1}-(2-h^2p_n+h^2\lambda)u_n+u_{n+1}=0,u_0=\alpha,u_N=\beta$, $n=1,..,N-1$.
В литературе говорится, что дальше решается задача на с.з. и с.в. матричного оператора. Правильно ли я понимаю, что оператор
получается следующего вида:

$A=\left(\begin{array}{cccccc}\alpha & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 1 & -(2-h^2p_1) & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & -(2-h^2p_2) & 1 & \cdots & 0\\ \cdots & \cdots &  \cdots & \ddots & \cdots & \cdots \\ \cdots & \cdots & 0 & 1 & -(2-h^2p_{N-1}) & 1  \\ 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & \beta \end{array}\right)$

И теперь задача стоит в решении матричного уравнения $Au=\lambda u$?
Подскажите, пожалуйста, правильно ли я понимаю?
И еще один вопрос, что делать в случае периодических условий на границе? Задавать $u_0$, и $u_N$ любыми одинаковыми числами?
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора
Сообщение06.03.2016, 13:15 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
doun
1. В задаче на с.з. для диф. оператора надо задавать ОДНОРОДНЫЕ граничные условия: $\alpha =0, \beta =0$. Вот с этой задачи и начнем.
2. для однородных гр. условий: надо у Вашей матрицы (она имеет размер $(N+1) \times (N+1)$) убрать крайние строки и столбцы, и тогда действительно получится задача о с.зн. и с.в. для матрицы. Как их искать? Ну, для не больших $N$, легко. А в общем случае, можно положить $u_1 = a$, и последовательно найти все $u_n$. Из последнего ур-я найдем $\lambda$.
3. Для периодических гр. условий:
а) для периодической $p$ гр. условия можно задавать так: периодичность "$u$" ($u_0 = u_N, u_1 = u_{N+1},...$) $+$ выполнение уравнения в точке $N$. В матрице появится новая строка (для ур-я в точке $n=0$, и столбец (для переменной $u_0$), и теперь в матрице не будет "куцых" строчек (с двумя ненулевыми элементами), везде будет их 3.
б) для непериодической $p$(?). Все аналогично, только вместо выполнения ур-я в точке $u_N$, надо записать условие равенства производных: $u_1 - u_0 = u_N - u_{N-1}$ . По сравнению с а) испортится только последнее уравнение.

-- 06.03.2016, 14:39 --

Решать - также.
4. Для неоднородных гр. условий. Это не будет задача на с.зн. для матрицы. Но решать можно, и также. Вот только в Вашей матрице: надо убрать первую и последнюю строчки, обозначить как раньше, $u_1=a$, последовательно выразить все $u_n$, и из равенства $u_N = \beta $ найти $a$. Вот только результат будет резко отличаться от результата для однородных: $a$ удастся найти, только если $\lambda$ НЕ есть собственное значение ....

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора
Сообщение07.03.2016, 18:00 


29/08/11
14
DeBill

Спасибо за столь развернутый ответ! Я хочу разобраться с задачей приводящей именно к матричному уранению потому как с его численным решением все хорошо у меня. Собственно основная проблема в том, что я не очень понимаю куда "засовывать" граничные условия. До Вашего ответа я считал, что в численном решении задачи на с.з. и с.ф. не обязательно сводить ее к задаче с однородными граничными условиями, все таки не аналитическое решение. Да и в добавок, если я правильно понимаю, например, методу стрельбы вообще не важно однородные граничные условия или нет.

Теперь, если я правильно понял, получается, что только в случае первой краевой задачи решение сводится к задаче на с.з.
матрицы? А в случае периодических условий на границе нужно "ручками" выражать значения функций в новых узлах через
значения в предыдущих узлах и неизвестный параметр, а потом решать задачу о поиске корней полинома?

 Профиль  
                  
 
 Re: Численное решение задачи на с.з. и с.ф. дифф. оператора
Сообщение07.03.2016, 18:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
doun
Ну, в случае 2а) (а именно он и хорош для периодической задачи) также получается задача на собственные значения матрицы. А вот для 2б) -все не очень хорошо...

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group