найти наименьшее значение

[Rony]

Подскажите, пожалуйста, как это решать. Известно, что $ -5x^2+2xy-11y^2+z^2=27
найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.
Пробовала выделить это выражение из первого уравнения, но ничего хорошего это не дало((

[Алексей К.]

Rony писал(а):

Подскажите, пожалуйста, как это решать. Известно, что $ -5x^2+2xy-11y^2+z^2=27
найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.
Пробовала выделить это выражение из первого уравнения, но ничего хорошего это не дало((

Надо найти наименьшее положительное значение выражения $2x+y-z$ при условии, что точки $(x,y,z)$ принадлежат поверхости $-5x^2+2xy-11y^2+z^2=27$. Т.е. надо побегать по этой поверхности, в каждой точке сосчитать значение выражения, и найти, где же оно случилось требуемым.
Для этого имеется тема "Условный экстремум", метод множителей Лагранжа.

Можно и поверхность отпараметризовать, узнать, что $x=X(u,v),\;y=Y(u,v),\;z=Z(u,v)$, далее понятно.

[Rony]

Это задача была на одной из вузовских олимпиад, поэтому предполагается, что достаточно пользоваться только тем, что есть в школьной программе. А то, что Вы предлагаете, что-то я не припомню среди школьных тем Нет ли какого-нибудь иного способа?

[Brukvalub]

Rony писал(а):

Нет ли какого-нибудь иного способа?

Есть. Приравняйте исследуемое на минимум выражение к а, выразите из полученного равенства одну переменную и подставьте ее выражение в уравнение связи. Далее требуйте разрешимости по одному из переменных полученного квадратного уравнения и т.д.

[незваный гость]

Можно рассмотреть систему $-5x^2+2xy-11y^2+z^2=27$, $2x+y-z =a$, и решить её относительно $x,y$. Получим запутанные выражения, но главное, что нас интересует — это то, что под радикалом будет выражение, зависящее от $a$ и $z$. При $a = 0$ выражение сугубо отрицательно при любом $z$, но при некоторых $a$ существуют $z$, когда подкоренное выражение неотрицательно. Если решать это неравенство относительно $z$, мы увидим, что оно разрешимо при условии $a \ge ...$

[ILIYA01]

Насколько я понимаю ответ должен быть таким $\sqrt{2}/2

[Rony]

Выразим z: Z=2x+y-a, подставляя это в певое уравнение получаем квадратное. Рассмотрим его относительно x: $ x^2-2x(3y-2a)+10y^2+2ay-a^2+27=0.
$ D=-y^2-14ay+5a^2-27\geqslant 0Решая это неравенство получаем ограничение для дискриминанта: $ 54a^2-27\geqslant 0. Поэтому среди положительных а: $ a\geqslant 1/\sqrt{2}. Верно?

[незваный гость]

Почти.

Rony писал(а):

найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.

[Rony]

Соответственно ответ будет $ 1/\sqrt{2}.

[незваный гость]

Цитата:

Рабочая и крестьянская революция, о необходимости которой все время говорили большевики, совершилась.

Всё правильно, Вы разобрались

[Rony]

Спасибо большое за помощь!