2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 найти наименьшее значение
Сообщение31.03.2008, 19:00 
Подскажите, пожалуйста, как это решать. Известно, что $ -5x^2+2xy-11y^2+z^2=27
найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.
Пробовала выделить это выражение из первого уравнения, но ничего хорошего это не дало((

 
 
 
 Re: найти наименьшее значение
Сообщение31.03.2008, 19:23 
Rony писал(а):
Подскажите, пожалуйста, как это решать. Известно, что $ -5x^2+2xy-11y^2+z^2=27
найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.
Пробовала выделить это выражение из первого уравнения, но ничего хорошего это не дало((

Надо найти наименьшее положительное значение выражения $2x+y-z$ при условии, что точки $(x,y,z)$ принадлежат поверхости $-5x^2+2xy-11y^2+z^2=27$. Т.е. надо побегать по этой поверхности, в каждой точке сосчитать значение выражения, и найти, где же оно случилось требуемым.
Для этого имеется тема "Условный экстремум", метод множителей Лагранжа.

Можно и поверхность отпараметризовать, узнать, что $x=X(u,v),\;y=Y(u,v),\;z=Z(u,v)$, далее понятно.

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 21:04 
Это задача была на одной из вузовских олимпиад, поэтому предполагается, что достаточно пользоваться только тем, что есть в школьной программе. А то, что Вы предлагаете, что-то я не припомню среди школьных тем :roll: Нет ли какого-нибудь иного способа? :oops:

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 21:29 
Аватара пользователя
Rony писал(а):
Нет ли какого-нибудь иного способа?
Есть. Приравняйте исследуемое на минимум выражение к а, выразите из полученного равенства одну переменную и подставьте ее выражение в уравнение связи. Далее требуйте разрешимости по одному из переменных полученного квадратного уравнения и т.д.

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 21:38 
Аватара пользователя
:evil:

Можно рассмотреть систему $-5x^2+2xy-11y^2+z^2=27$, $2x+y-z =a$, и решить её относительно $x,y$. Получим запутанные выражения, но главное, что нас интересует — это то, что под радикалом будет выражение, зависящее от $a$ и $z$. При $a = 0$ выражение сугубо отрицательно при любом $z$, но при некоторых $a$ существуют $z$, когда подкоренное выражение неотрицательно. Если решать это неравенство относительно $z$, мы увидим, что оно разрешимо при условии $a \ge ...$

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 22:31 
Насколько я понимаю ответ должен быть таким $\sqrt{2}/2

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 23:29 
Выразим z: Z=2x+y-a, подставляя это в певое уравнение получаем квадратное. Рассмотрим его относительно x: $ x^2-2x(3y-2a)+10y^2+2ay-a^2+27=0.
$ D=-y^2-14ay+5a^2-27\geqslant 0Решая это неравенство получаем ограничение для дискриминанта: $ 54a^2-27\geqslant 0. Поэтому среди положительных а: $ a\geqslant 1/\sqrt{2}. Верно?

 
 
 
 
Сообщение01.04.2008, 00:44 
Аватара пользователя
:evil:

Почти.
Rony писал(а):
найти наименьшее положительное значение выражения 2x+y-z.

 
 
 
 
Сообщение01.04.2008, 06:57 
Соответственно ответ будет $ 1/\sqrt{2}. :D

 
 
 
 
Сообщение02.04.2008, 08:14 
Аватара пользователя
:evil:
Цитата:
Рабочая и крестьянская революция, о необходимости которой все время говорили большевики, совершилась.


Всё правильно, Вы разобрались :!:

 
 
 
 
Сообщение02.04.2008, 20:04 
Спасибо большое за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group