Алгебраический порядок точности численного метода

[widi]

Здравствуйте!
Совсем запутался с определением порядка точности. По определению, порядок точности - это наивысшая степень полинома, для которого численный метод дает точное решение, т.е. если вместо подынтегральной функции стоит полином этой степени, то остаточный член формулы численного инт. будет равен нулю; но если под интегралом не сложная функция, а полином, то и формулы численного инт. здесь не нужны?!
Подскажите, пожалуйста, литературу, где этот вопрос может быть описан более подробно. Читал Вержбицкого, Самарского, Википедию, все равно не понял.

[Xaositect]

То, что они не нужны, не значит, что они неприменимы. Можно же взять и посчитать интеграл численым методом для полинома так же, как и для "сложной функции".

[dsge]

Если квадратурная формула хорошо работает на полиномах, то это дает надежду, что она будет хороша и на других функциях. Тем более, что любую непрерывную функцию можно как угодно точно аппроксимировать полиномом (Вейерштрасс).

[widi]

Т.е. я правильно понимаю, что по определению порядок точности - это степень того полинома, который мы подставляем вместо подынтегральной функции, при этом производная (а следовательно и остаточный член) будет равна нулю; при этом, как и для сложной функции, нам необходимо построить интерполяционный полином (например, Лагранжа) для подынтегрального полинома, но разве они не будут равны между собой?

[dsge]

widi в сообщении #1104379 писал(а):

Т.е. я правильно понимаю, что по определению порядок точности - это степень того полинома

Лучше говорить "степень точности".
Естественно, интерполяционный полином будет совпадать с самим полиномом.

[ewert]

Есть два стандартных определения порядка точности квадратурной формулы.

1. Это максимальная из степеней, при которой формула точна для всех многочленов данной степени.

2. Это максимально возможный показатель степени в оценке погрешности вида $O(h^m)$, которую даёт эта формула для вообще любой (достаточно гладкой функции.

И есть стандартная теорема, согласно которой эти два числа для любой формулы различаются ровно на 2.

Для практических целей интерес представляет, естественно, только второй вариант определения. Первый же -- лишь техническое средство.

[widi]

Определение №1, что оно означает? Что если вместо функции мы возьмем многочлен, сделаем с ним все то же самое, что делали с функцией, то получим точное, а не приближенное равенство?

[ewert]

widi в сообщении #1104384 писал(а):

Определение №1, что оно означает?

Это означает, что

widi в сообщении #1104373 писал(а):

если вместо подынтегральной функции стоит полином этой степени, то остаточный член формулы численного инт. будет равен нулю

, только чуть более аккуратно сформулировано.

Естественно, квадратурная формула даёт точный результат на многочленах соотв. степени ровно потому, что она получена интегрированием интерполяционного многочлена соответствующей степени с одной стороны и что любой многочлен является интерполяционным для самого себя -- с другой.

Но это -- лишь гарантированный порядок точности, фактический же может оказаться выше (за счёт симметрии и некоторых других обстоятельств). И теорема, которую я упоминал, никак на интерполяцию не опирается.

[widi]

Спасибо, немного разобрался)

[ewert]

dsge в сообщении #1104376 писал(а):

Тем более, что любую непрерывную функцию можно как угодно точно аппроксимировать полиномом (Вейерштрасс).

Это, кстати, не аргумент. Теорема Вейерштрасса ровно ничего не говорит о порядках точности приближения.

[dsge]

ewert в сообщении #1104389 писал(а):

Это, кстати, не аргумент. Теорема Вейерштрасса ровно ничего не говорит о порядках точности приближения.

Она дает надежду на то, что всё честно, когда нет возможности (или желания) оценивать точность.

[ewert]

dsge в сообщении #1104394 писал(а):

Она дает надежду

Она не может давать решительно никаких надежд даже не потому, что никак не связывается с гладкостью функции, а просто потому, что постановка задачи совершенно другая -- в ней промежуток фиксирован, а степень стремится к бесконечности. В случае же численного интегрирования всё в точности наоборот.

[dsge]

В случае численного интегрирования у нас есть информация только о значениях функции в точках (точнее, в общем случае, как вычислять функцию в точках). В случае дополнительной информации о её непрерывности, можно надеяться, что квадратурные формулы будут "работать" на достаточно высоких порядках. В случае ещё дополнительной информации о гладкости, можно делать оценки точности.

[ewert]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1104396 писал(а):

а просто потому, что постановка задачи совершенно другая --