2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 12:22 


05/03/16
4
Здравствуйте!
Совсем запутался с определением порядка точности. По определению, порядок точности - это наивысшая степень полинома, для которого численный метод дает точное решение, т.е. если вместо подынтегральной функции стоит полином этой степени, то остаточный член формулы численного инт. будет равен нулю; но если под интегралом не сложная функция, а полином, то и формулы численного инт. здесь не нужны?!
Подскажите, пожалуйста, литературу, где этот вопрос может быть описан более подробно. Читал Вержбицкого, Самарского, Википедию, все равно не понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
То, что они не нужны, не значит, что они неприменимы. Можно же взять и посчитать интеграл численым методом для полинома так же, как и для "сложной функции".

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 12:36 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
Если квадратурная формула хорошо работает на полиномах, то это дает надежду, что она будет хороша и на других функциях. Тем более, что любую непрерывную функцию можно как угодно точно аппроксимировать полиномом (Вейерштрасс).

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:12 


05/03/16
4
Т.е. я правильно понимаю, что по определению порядок точности - это степень того полинома, который мы подставляем вместо подынтегральной функции, при этом производная (а следовательно и остаточный член) будет равна нулю; при этом, как и для сложной функции, нам необходимо построить интерполяционный полином (например, Лагранжа) для подынтегрального полинома, но разве они не будут равны между собой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:26 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
widi в сообщении #1104379 писал(а):
Т.е. я правильно понимаю, что по определению порядок точности - это степень того полинома

Лучше говорить "степень точности".
Естественно, интерполяционный полином будет совпадать с самим полиномом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Есть два стандартных определения порядка точности квадратурной формулы.

1. Это максимальная из степеней, при которой формула точна для всех многочленов данной степени.

2. Это максимально возможный показатель степени в оценке погрешности вида $O(h^m)$, которую даёт эта формула для вообще любой (достаточно гладкой функции.

И есть стандартная теорема, согласно которой эти два числа для любой формулы различаются ровно на 2.

Для практических целей интерес представляет, естественно, только второй вариант определения. Первый же -- лишь техническое средство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:30 


05/03/16
4
Определение №1, что оно означает? Что если вместо функции мы возьмем многочлен, сделаем с ним все то же самое, что делали с функцией, то получим точное, а не приближенное равенство?

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:38 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
widi в сообщении #1104384 писал(а):
Определение №1, что оно означает?

Это означает, что

widi в сообщении #1104373 писал(а):
если вместо подынтегральной функции стоит полином этой степени, то остаточный член формулы численного инт. будет равен нулю

, только чуть более аккуратно сформулировано.

Естественно, квадратурная формула даёт точный результат на многочленах соотв. степени ровно потому, что она получена интегрированием интерполяционного многочлена соответствующей степени с одной стороны и что любой многочлен является интерполяционным для самого себя -- с другой.

Но это -- лишь гарантированный порядок точности, фактический же может оказаться выше (за счёт симметрии и некоторых других обстоятельств). И теорема, которую я упоминал, никак на интерполяцию не опирается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:41 


05/03/16
4
Спасибо, немного разобрался)

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 13:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dsge в сообщении #1104376 писал(а):
Тем более, что любую непрерывную функцию можно как угодно точно аппроксимировать полиномом (Вейерштрасс).

Это, кстати, не аргумент. Теорема Вейерштрасса ровно ничего не говорит о порядках точности приближения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 14:13 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
ewert в сообщении #1104389 писал(а):
Это, кстати, не аргумент. Теорема Вейерштрасса ровно ничего не говорит о порядках точности приближения.

Она дает надежду на то, что всё честно, когда нет возможности (или желания) оценивать точность. :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 14:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
dsge в сообщении #1104394 писал(а):
Она дает надежду

Она не может давать решительно никаких надежд даже не потому, что никак не связывается с гладкостью функции, а просто потому, что постановка задачи совершенно другая -- в ней промежуток фиксирован, а степень стремится к бесконечности. В случае же численного интегрирования всё в точности наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 14:27 
Заслуженный участник


05/08/14
1564
В случае численного интегрирования у нас есть информация только о значениях функции в точках (точнее, в общем случае, как вычислять функцию в точках). В случае дополнительной информации о её непрерывности, можно надеяться, что квадратурные формулы будут "работать" на достаточно высоких порядках. В случае ещё дополнительной информации о гладкости, можно делать оценки точности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Алгебраический порядок точности численного метода
Сообщение05.03.2016, 17:10 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1104396 писал(а):
а просто потому, что постановка задачи совершенно другая --

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group