Бинарные отношения и приставки не и анти

[kernel1983]

Пытаюсь разобраться с определениями свойств бинарных отношений и уяснить закономерности...
Пусть $R \subset M^2$.
Бинарное отношение $R$ называется рефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \in R$.
Ясно, что бинарное отношение $R$ не является рефлексивным, если $\exists x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание предыдущего определения).
Бинарное отношение $R$ называется антирефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание бескванторной части).
Понятно, что антирефлексивность - более сильное свойство, чем нерефлексивность, поскольку из первого следует второе.
Бинарное отношение $R$ называется симметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \to (y,x) \in R$.
Очевидно, что бинарное отношение $R$ не является симметричным, если $ \exists x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$ (снова отрицание предыдущего определения).
Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$. Однако антисимметричным отношением называется такое бинарное отношение, что $\forall x,y \in M \ ((x,y) \in R \wedge (y,x) \in R \to x=y)$.
То же самое можно продемонстрировать на примере транзитивности бинарного отношения.
В чём смысл приставки "анти" применительно к теории бинарных отношений? Очевидно лишь, что "анти" сильнее, чем "не".

[Brukvalub]

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$

Вам не кажется, что получилось противоречивое высказывание?

[Anton_Peplov]

kernel1983, не ищите в математической терминологии (в отличие от математических теорем) абсолютной логичности и последовательности. Терминология складывалась исторически, т.е. во многом стихийно, и даже неудачные названия/обозначения могли стать настолько привычными, что никто уже не хочет ничего менять. Насколько я знаю, у математиков нет административного органа, регулирующего употребление терминов, каковым для астрономов, например, является Международный астрономический союз. Так что тут некого попросить в случае чего пересмотреть вопрос, "является ли Плутон планетой".
А то ведь можно еще спросить, почему ряды с положительными членами так называются, если они - ряды с неотрицательными членами.

[Ellan Vannin]

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Пусть $R \subset M^2$.

Разберитесь, что такое у вас $R$. График это или отношение?

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Понятно, что антирефлексивность - более сильное свойство, чем нерефлексивность, поскольку из первого следует второе.

Нет, не принимается. Попробуйте это доказать или опровергнуть.

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$. Однако антисимметричным отношением называется такое бинарное отношение, что $\forall x,y \in M \ ((x,y) \in R \wedge (y,x) \in R \to x=y)$.

Для начала прекратите путать графики и отношения.

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

В чём смысл приставки "анти" применительно к теории бинарных отношений? Очевидно лишь, что "анти" сильнее, чем "не".

Неочевидно совершенно. Смысл в точных определениях.

[kernel1983]

Нет, не кажется. Пусть $M=\{ 1,2,3 \}$. Рассмотрим отношение $ \{(1,2);(2,3);(1;3) \} $. Тогда $(1,2) \in R, \ (2,3) \in R , \ (3,1) \in R$. Но $(2,1) \not \in R, \ (3,2) \not \in R, \ (1,3) \not \in R$.
Но дело даже не в этом... Интересно, какой смысл вкладывается в "анти" в учении о бинарных отношениях.

-- 04.03.2016, 17:53 --

Ellan Vannin в сообщении #1104184 писал(а):

Разберитесь, что такое у вас $R$. График это или отношение?

У меня $R$ - произвольное бинарное отношение (некоторое подмножество декартова квадрата непустого множества $M$).
Что Вы называется графиком? Не могли бы уточнить?

[Ellan Vannin]

kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):

У меня $R$ - произвольное бинарное отношение (некоторое подмножество декартова квадрата непустого множества $M$).

Так лучше не делать. Бинарное отношение — тройка $\langle G,A,B \rangle$, где $G \subseteq A \times B$. Первый компонент тройки называют графиком отношения, $A$ — областью отправления, $B$ — областью прибытия.

kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):

Что Вы называется графиком? Не могли бы уточнить?

График — множество упорядоченных пар.

[kernel1983]

Ellan Vannin в сообщении #1104184 писал(а):

Нет, не принимается. Попробуйте это доказать или опровергнуть.

Докажем, что формула логики предикатов $( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x))$ является тождественно истинной. Используем равносильные преобразования. Имеем:

$( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x)) \ \simeq \ \neg{ ( \forall x) ( P(x)) } \vee ( \exists x) (P(x)) \ \simeq \ (\exists x) ( \neg{P(x)}) \vee ( \exists x) (P(x)) \ \simeq \ (\exists x) ( \neg{P(x)} \vee P(x)) \ \simeq \ (\exists x)(1) \ \simeq 1 $

-- 04.03.2016, 18:04 --

Ellan Vannin, разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?

[Ellan Vannin]

kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):

Нет, не кажется. Пусть $M=\{ 1,2,3 \}$. Рассмотрим отношение $ \{(1,2);(2,3);(1;3) \} $. Тогда $(1,2) \in R, \ (2,3) \in R , \ (3,1) \in R$. Но $(2,1) \not \in R, \ (3,2) \not \in R, \ (1,3) \not \in R$.

Вот с кванторами получилось нехорошо. Одни и те же элементы должны и принадлежать $R$ и не принадлежать. Пример ваш ничего не объясняет и не может объяснить

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

$ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$

А если я перепишу ваше утверждение и подставлю $x$ вместо $y$ и $y$ вместо $x$: $ \forall y,x \in M \ (y,x ) \in R \wedge (x,y) \not \in R$. Изменит это что-то для вас?

kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):

Ellan Vannin, разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?

Между какими множествами?

[Someone]

kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):

разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?

А разве множество упорядоченных пар определяет множества $A$ и $B$, о которых говорит Ellan Vannin? Или хотя бы то множество $M$, о котором говорите Вы сами?

[Ellan Vannin]

kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):

$( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x))$

А вы забываете про множество и считаете что первый $P(x)$ устроен так же, как и второй $P(x)$. Так делать нельзя.

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Бинарное отношение $R$ называется антирефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание бескванторной части).

Если развернуть эту запись, получится $\forall x (x\in M \to (x,x) \notin R)$ И я по-прежнему рекомендую вам освоиться с графиками.

kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):

Ясно, что бинарное отношение $R$ не является рефлексивным, если $\exists x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание предыдущего определения).

А точнее: $\exists x (x\in M \land (x,x) \not \in R)$.