2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 17:00 


10/11/15
142
Пытаюсь разобраться с определениями свойств бинарных отношений и уяснить закономерности...
Пусть $R \subset M^2$.
Бинарное отношение $R$ называется рефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \in R$.
Ясно, что бинарное отношение $R$ не является рефлексивным, если $\exists x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание предыдущего определения).
Бинарное отношение $R$ называется антирефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание бескванторной части).
Понятно, что антирефлексивность - более сильное свойство, чем нерефлексивность, поскольку из первого следует второе.
Бинарное отношение $R$ называется симметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \to (y,x) \in R$.
Очевидно, что бинарное отношение $R$ не является симметричным, если $ \exists x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$ (снова отрицание предыдущего определения).
Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$. Однако антисимметричным отношением называется такое бинарное отношение, что $\forall x,y \in M \ ((x,y) \in R \wedge (y,x) \in R \to x=y)$.
То же самое можно продемонстрировать на примере транзитивности бинарного отношения.
В чём смысл приставки "анти" применительно к теории бинарных отношений? Очевидно лишь, что "анти" сильнее, чем "не".

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$

Вам не кажется, что получилось противоречивое высказывание? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 17:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8484
kernel1983, не ищите в математической терминологии (в отличие от математических теорем) абсолютной логичности и последовательности. Терминология складывалась исторически, т.е. во многом стихийно, и даже неудачные названия/обозначения могли стать настолько привычными, что никто уже не хочет ничего менять. Насколько я знаю, у математиков нет административного органа, регулирующего употребление терминов, каковым для астрономов, например, является Международный астрономический союз. Так что тут некого попросить в случае чего пересмотреть вопрос, "является ли Плутон планетой".
А то ведь можно еще спросить, почему ряды с положительными членами так называются, если они - ряды с неотрицательными членами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 17:49 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Пусть $R \subset M^2$.
Разберитесь, что такое у вас $R$. График это или отношение?
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Понятно, что антирефлексивность - более сильное свойство, чем нерефлексивность, поскольку из первого следует второе.
Нет, не принимается. Попробуйте это доказать или опровергнуть.
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Если построить отрицание бескванторной части определения симметричного отношения, а кванторы оставить те же, то получится, что бинарное отношение называется антисимметричным, если $ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$. Однако антисимметричным отношением называется такое бинарное отношение, что $\forall x,y \in M \ ((x,y) \in R \wedge (y,x) \in R \to x=y)$.
Для начала прекратите путать графики и отношения.
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
В чём смысл приставки "анти" применительно к теории бинарных отношений? Очевидно лишь, что "анти" сильнее, чем "не".
Неочевидно совершенно. Смысл в точных определениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 17:51 


10/11/15
142
Нет, не кажется. Пусть $M=\{ 1,2,3 \}$. Рассмотрим отношение $ \{(1,2);(2,3);(1;3) \} $. Тогда $(1,2) \in R, \ (2,3) \in R , \ (3,1) \in R$. Но $(2,1) \not \in R, \ (3,2) \not \in R, \ (1,3) \not \in R$.
Но дело даже не в этом... Интересно, какой смысл вкладывается в "анти" в учении о бинарных отношениях.

-- 04.03.2016, 17:53 --

Ellan Vannin в сообщении #1104184 писал(а):
Разберитесь, что такое у вас $R$. График это или отношение?


У меня $R$ - произвольное бинарное отношение (некоторое подмножество декартова квадрата непустого множества $M$).
Что Вы называется графиком? Не могли бы уточнить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 18:02 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):
У меня $R$ - произвольное бинарное отношение (некоторое подмножество декартова квадрата непустого множества $M$).
Так лучше не делать. Бинарное отношение — тройка $\langle G,A,B \rangle$, где $G \subseteq A \times B$. Первый компонент тройки называют графиком отношения, $A$ — областью отправления, $B$ — областью прибытия.
kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):
Что Вы называется графиком? Не могли бы уточнить?
График — множество упорядоченных пар.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 18:02 


10/11/15
142
Ellan Vannin в сообщении #1104184 писал(а):
Нет, не принимается. Попробуйте это доказать или опровергнуть.


Докажем, что формула логики предикатов $( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x))$ является тождественно истинной. Используем равносильные преобразования. Имеем:

$( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x)) \ \simeq  \ \neg{ ( \forall x) ( P(x)) } \vee ( \exists x) (P(x)) \ \simeq \ (\exists x) ( \neg{P(x)}) \vee ( \exists x) (P(x)) \ \simeq \ (\exists x) ( \neg{P(x)} \vee P(x)) \ \simeq \ (\exists x)(1) \ \simeq 1   $

-- 04.03.2016, 18:04 --

Ellan Vannin, разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 18:10 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
kernel1983 в сообщении #1104185 писал(а):
Нет, не кажется. Пусть $M=\{ 1,2,3 \}$. Рассмотрим отношение $ \{(1,2);(2,3);(1;3) \} $. Тогда $(1,2) \in R, \ (2,3) \in R , \ (3,1) \in R$. Но $(2,1) \not \in R, \ (3,2) \not \in R, \ (1,3) \not \in R$.
Вот с кванторами получилось нехорошо. Одни и те же элементы должны и принадлежать $R$ и не принадлежать. Пример ваш ничего не объясняет и не может объяснить :D
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
$ \forall x,y \in M \ (x,y ) \in R \wedge (y,x) \not \in R$
А если я перепишу ваше утверждение и подставлю $x$ вместо $y$ и $y$ вместо $x$: $ \forall y,x \in M \ (y,x ) \in R \wedge (x,y) \not \in R$. Изменит это что-то для вас?
kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):
Ellan Vannin, разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?
Между какими множествами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):
разве задание множества упорядоченных пар не определяет бинарное отношение?
А разве множество упорядоченных пар определяет множества $A$ и $B$, о которых говорит Ellan Vannin? Или хотя бы то множество $M$, о котором говорите Вы сами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бинарные отношения и приставки не и анти
Сообщение04.03.2016, 18:35 
Аватара пользователя


26/02/16

85
От верблюда
kernel1983 в сообщении #1104190 писал(а):
$( \forall x) ( P(x)) \to ( \exists x) (P(x))$
А вы забываете про множество и считаете что первый $P(x)$ устроен так же, как и второй $P(x)$. Так делать нельзя.
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Бинарное отношение $R$ называется антирефлексивным, если $\forall x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание бескванторной части).
Если развернуть эту запись, получится $\forall x (x\in M \to (x,x) \notin R)$ И я по-прежнему рекомендую вам освоиться с графиками.
kernel1983 в сообщении #1104161 писал(а):
Ясно, что бинарное отношение $R$ не является рефлексивным, если $\exists x \in M \ (x,x) \not \in R$ (отрицание предыдущего определения).
А точнее: $\exists x (x\in M \land (x,x) \not \in R)$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: DariaRychenkova


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group