показательное уравнение

[Orkimed]

Никак не могу решить уравнения:
$\left\langle\ 4+\sqrt{5}\right\rangle^x+\left\langle\ 4-\sqrt{5}\right\rangle^x=62 \\ \left\langle\sqrt{5+2\sqrt{6}}\right\rangle^x + \left\langle\sqrt{5-2\sqrt{6}}\right\rangle^x = 10$
Пытался умножать на "единицу" ${\left\langle\frac{\sqrt{4+\sqrt{5}}} {\sqrt{4+\sqrt{5}}^x}\right\rangle}^x$, выделять разность квадратов во втором члене и подгонять в первом,чтобы сделать замену.Но эти попытки ни к чему не привели.

[gris]

Опять же стандартная ситуация. Чему равно произведение двух скобок? Начните со второго уравнения.

[Orkimed]

gris
Произведение двух скобок в обоих уравнениях равно 1.

[gris]

В первом не единица, что и настораживает и заставляет посмотреть в печатное условие, а не $\sqrt{15}$ ли там Ибо единичка в любой степени единичка. А числа, произведение которых равно единичке, называются взаимнообратными и просят хорошую замену.

[Orkimed]

gris
И правда там не 5 ,а 15.Ошибся во время перепечатывания.
О замене я думал,но вот как её организовать никак понять не могу.

[gris]

Допустим, я первую скобку вместе с показателем степени обозначу через $t$. Чему будет равна вторая?

[Orkimed]

gris
Получается $ t +\frac{1}{t}=62 \\ t+\frac{1}{t}=10 \\ $
Спасибо за совет.
Не подскажете какой задачник с более-менее подробными решениями посмотреть?А то каждый раз писать на форум,когда сдвинуться с места не получается, не комильфо.
И еще вопрос.В Maple написал $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$.Он это упростил до $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ Как он это сделал?

[gris]

К любому большому задачнику, типа Сканави, есть решебник. Но простой доступ к решебнику провоцирует. Лично мне однажды понравилось пособие для абитуриентов Заведения с указаниями, вторыми указаниями и, наконец, решениями задач повышенной сложности. Но я не спец в этой области

[Orkimed]

gris
Решил второе уравнение.Получил корень 2.В ответах написано,что есть ещё один -2.Откуда его взять?
К первому у меня получилось $t^2-62t+1 \quad t_{1,2}=31\pm8\sqrt{15}$ После возвращения к замене это даёт белиберду.
Я кстати,получил такое же квадратное уравнение после замены,когда пользовался "единицей".Меня смутило,что ответ не сходится.

[gris]

Вообще-то, левая часть чётна как функция. Так что только ноль может быть единственным корнем. у квадратного уравнения два корня, каждый даёт свой ответ. У первого уравнения те же самые плюс-минус два тоже получаться должны. По подстановке видно. Сделайте повнимательнее.
Хотя, если честно, даже не знаю, как это получить помимо догадки, подстановки и монотонности. Ответ в виде логарифма, конечно, хоть и верен, но непригляден.

[Orkimed]

gris
Все ответы сошлись.Пришлось сильно поковыряться с логарифмами.
Спасибо,что откликнулись.

[Brukvalub]

Orkimed в сообщении #1104171 писал(а):

И еще вопрос.В Maple написал $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$.Он это упростил до $\sqrt{3}+\sqrt{2}$ Как он это сделал?

Он умеет выделять "полные квадраты", а нынешние школьники - уже не умеют. Вот и настала эра тотального превосходства искусственного интеллекта!

[Orkimed]

Brukvalub
Фокус в том,что я не нынешний школьник.Я после армии в институт поступил,а она выбила многое из моей головы.
Я помню,что нужно выделять полный квадрат,но навык пропал.

[gris]

Тут скорее не полный квадрат, а теоремв Виета. В подобных конструкциях $a\pm 2\sqrt b$ мы стараемся увидеть $(\sqrt x \pm \sqrt y)^2$. После возведения в квадрат получим: $x+y=a; xy=b$.
В школьных задачах обычно существуют хорошие целые решения. Например, в наше случае сумма двух чисел равна $5$, а произведение $6$. Ясно, что $5+2\sqrt 6=(\sqrt 2+\sqrt 3)^2$
Только я сомневаюсь, что все эти достаточно искусственные школьные приёмчики полезны в зрелом возрасте

[iou]

Brukvalub в сообщении #1104202 писал(а):

Вот и настала эра тотального превосходства искусственного интеллекта!

(Оффтоп)

Dan B-Yallay в сообщении #1103537 писал(а):

К проблеме создания машины разумнее человека, человечество решило подойти с обеих сторон.