СТО: положение центра инерции

[waxtep]

Уважаемые коллеги, добрый день!
Прошу помочь мне разобраться с понятием центра инерции в СТО. Модельная задача одномерного движения: в лабораторной ИСО покоятся на расстоянии $L$ друг от друга две частицы (материальных точки) одинаковой массы $m$ каждая. В момент времени $t=0$ внешняя сила мгновенно сообщает одной из частиц импульс $p$ и, соответственно, увеличивает ее полную энергию до величины $E=\sqrt {p^2+m^2}$. Вопросы, в которых я немного заплутал:

1. Верно ли, что в данной ИСО в момент $t=0$, скачком изменяется не только скорость центра инерции (от нуля до $\frac p {E+m}$), но и расстояние от центра инерции до каждой из частиц? Центр инерции мгновенно приблизится к "разогнанной" частице с исходного расстояния $\frac L 2$ до $\frac {Lm} {E+m}$

2. Рассмотрим ту же задачу в другой ИСО, движущейся относительно лабораторной с половинной быстротой разогнанной частицы $\theta=\frac 1 2 \operatorname{arsh} \frac p m$. Здесь частицы исходно движутся с одинаковой быстротой $\theta$, а, под действием внешней силы, "разогнанная" частица изменит знак скорости, но не величину. Верно ли, что в этой ИСО, расстояние от центра инерции до частиц не претерпит мгновенного скачка?

Если оба утверждения верны, у меня вызывает затруднение то, что в одной из ИСО положение центра инерции скачет, а в другой - нет.

(благодарность)

Вопросы по мотивам задачи №59 из замечательного учебника Тейлора, Уилера "Физика пространства-времени", за наводку на который я очень признателен участникам форума

[Munin]

waxtep в сообщении #1103862 писал(а):

1. Верно ли, что в данной ИСО в момент $t=0$, скачком изменяется не только скорость центра инерции (от нуля до $\frac p {E+m}$), но и расстояние от центра инерции до каждой из частиц?

Да. Разогнанная частица "потяжелела".

waxtep в сообщении #1103862 писал(а):

Если оба утверждения верны, у меня вызывает затруднение то, что в одной из ИСО положение центра инерции скачет, а в другой - нет.

Проблема в том, что вообще "центр инерции" - не лоренц-инвариантное понятие. Его нельзя изобразить мировой линией, которая будет сохранять своё положение в разных системах отсчёта.

Работает (как лоренц-инвариантное) только понятие "скорость центра инерции", и только для замкнутых систем.

Не помню, написано ли это в Тейлоре-Уилере, но совершенно точно написано в Ландау-Лифшице ("Теория поля" = ЛЛ-2).

[waxtep]

Ага, спасибо, понял!
ЛЛ-2 смотрел, там вводится понятие скорости ц-системы относительно л-системы (11.4), а вопрос положения центра инерции, если не ошибаюсь, не обсуждается. В решении же задачи в ТУ меня смутило рассуждение о "центре гравитационного притяжения", но, похоже, напрасно

[svv]

waxtep
По поводу не-лоренц-инвариантности центра инерции. Представьте такую ситуацию. В лабораторной ИСО две частицы покоятся симметрично относительно точки $O$. Ясно, там и будет центр инерции. Затем частицы, одновременно и мгновенно изменив скорость, начинают лететь друг к другу с одинаковыми по модулю скоростями. Опять-таки, всё происходит симметрично относительно точки $O$ — центр инерции там и останется. Мировая линия центра инерции, вроде как, — прямая линия.

Но в другой-то ИСО изменение скорости первой и второй частицы произойдёт неодновременно! Вывод?

[waxtep]

svv в сообщении #1103916 писал(а):

Вывод?

Спасибо! Да, так задача в ТУ и сформулирована, я просто поменял порядок рассмотрения в двух ИСО. У меня здесь было два затупа несколько иного рода, не связанных, кажется, прямо с относительностью одновременности:
1. В одной из ИСО центр инерции движется вдоль мировой линии, хочется ожидать, что и во всех остальных ИСО это будет так же. Но, в любой другой ИСО, положение ц.и. испытывает два пространственно-подобных скачка, "как же так?" На этот вопрос помог найти ответ Munin.

2. Если, вслед за ТУ, рассматривать ц.и. как "центр гравитационного притяжения, оказываемого системой из двух ядер на любую далекую массу", то, получается тот же "как же так", под другим соусом: в одной ИСО удаленные тела не заметят изменения положения центра гравитации, а в других - заметят. Ну, тут я просто забыл о том, что перед передачей энергии каждой из частиц, с ней рядом находился источник этой самой энергии, и энергия просто перешла из одного вида в другой, не вызывая никакого скачка для удаленных тел в любой ИСО

[Munin]

waxtep в сообщении #1103907 писал(а):

ЛЛ-2 смотрел, там вводится понятие скорости ц-системы относительно л-системы (11.4), а вопрос положения центра инерции, если не ошибаюсь, не обсуждается.

Самый конец § 14:

Цитата:

Отсюда мы видим, что точка с радиус-вектором


$$\mathbf{R}=\dfrac{\sum\mathcal{E}\mathbf{r}}{\sum\mathcal{E}}\eqno(14.6)$$

равномерно движется со скоростью


$$\mathbf{V}=\dfrac{c^2\sum\mathbf{p}}{\sum\mathcal{E}},\eqno(14.7)$$

которая есть не что иное, как скорость движения системы как целого (отвечающая по формуле (9.8) ее полным энергии и импульсу). Формула (14.6) дает релятивистское определение координат центра инерции системы. Если скорости всех частиц малы по сравнению с $c,$ то можно приближенно положить $\mathcal{E}\approx mc^2$ и (14.6) переходит в обычное классическое выражение ¹)


$$\mathbf{R}=\dfrac{\sum m\mathbf{r}}{\sum m}.$$

Обратим внимание на то, что компоненты вектора (14.6) не составляют пространственных компонент какого-либо 4-вектора и потому при преобразовании системы отсчета не преобразуются как координаты какой-либо точки. Поэтому центр инерции одной и той же системы частиц по отношению к различным системам отсчета — это различные точки.

----------------
¹)В то время как классическая формула для центра инерции относится к системам как невзаимодействующих, так и взаимодействующих частиц, формула (14.6) справедлива лишь при пренебрежении взаимодействием. В релятивистской механике определение центра инерции системы взаимодействующих частиц требует учета в явном виде также импульса и энергии создаваемого ими поля.

Как всегда у Ландау, лаконично, но очень глубоко. Если всё правильно домыслить.

А вот ТУ пока не смотрел.

[waxtep]

Получается, можно так сказать (?) - то, что в некоторой ИСО 4-мерная линия "чего-то" выглядит всюду времениподобной, необходимо, но, недостаточно для того, чтобы признать это "нечто" реальной досветовой частицей. Это может быть связано просто с удачным выбором координат. Достаточны лишь подобные "показания" из еще трех ИСО, движущихся относительно исходной по трем линейно-независимым направлениям. (я пытаюсь снять оставшийся осадок от того, что в одной ИСО линия является времениподобной, а в других черти-чем)

-- 04.03.2016, 00:09 --

Munin в сообщении #1103956 писал(а):

Самый конец § 14:

О, еще раз спасибо, дотуда не долистал. Я к ЛЛ-2 пока с опаской отношусь, понимаю, что сперва и ЛЛ-1 надо будет освежить

[rustot]

waxtep в сообщении #1103966 писал(а):

Получается, можно так сказать (?) - то, что в некоторой ИСО 4-мерная линия "чего-то" выглядит всюду времениподобной, необходимо, но, недостаточно для того, чтобы признать это "нечто" реальной досветовой частицей.

Нет, в вашем случае одновременно с переходом в другую исо начинаете рассматривать движение совсем другой точки. Если в первой исо вы в эту точку поместите частицу, то в другой исо она будет двигаться не так как ваша новая точка

[Munin]

waxtep в сообщении #1103966 писал(а):

Получается, можно так сказать (?) - то, что в некоторой ИСО 4-мерная линия "чего-то" выглядит всюду времениподобной, необходимо, но, недостаточно для того, чтобы признать это "нечто" реальной досветовой частицей.

Этого даже недостаточно, чтобы признать это "нечто" реальной мировой линией.

Ну давайте возьмём для аналогии обычную геометрию. Острый угол между двумя прямыми $k$ и $l.$ В нём можно провести биссектрису - это будет неким инвариантным "средним" между двумя прямыми, независимым от поворотов. Но можно и извратиться:
- Введём прямоугольную систему координат $Oxl,$ в которой прямая $l$ совпадает с осью ординат, а вершина угла помещена в начало координат. Теперь возьмём отрезки, секущие две исходные прямые $k$ и $l,$ параллельные оси абсцисс $Ox.$ Середины этих отрезков будут ложиться на какую-то прямую, но будет ли она в каком-то инвариантном смысле "средним"?
- Введём другую прямоугольную систему координат - $Ox'k.$ Проведём здесь аналогичные секущие отрезки, и линию их середин. Она не будет совпадать ни с биссектрисой, ни с прямой из предыдущего пункта.
- Введём ещё третью (четвёртую, пятую...) произвольную систему координат $Ox''y''$... Каждая из них будет давать свою прямую середин отрезков.
В общем, ерунда. Проще взять биссектрису, и не мучиться.

Эта аналогия - не совсем прямая, но может дать представление о том, что даже если вы используете изначально "физические" (4-мерные, инвариантные) величины, но строите из них что-то не очень аккуратно, у вас в итоге может получиться неинвариантная величина.

[waxtep]

rustot, Munin, спасибо, разобрался! Для себя так коротко сформулировал результат:
1. Радиус-вектор центра инерции не преобразуется по Лоренцу при переходе к другой ИСО ($=$ соответствует разным точкам в разных ИСО)
2. И вполне может испытывать скачки в момент действия внешней силы; соответствие в классической механике - мгновенное изменение массы частицы, а не кинетической энергии (роль массы в СТО играет полная энергия)
3. Постановка вопроса про "четыре разных ИСО" имеет ограниченный смысл, т.к. соответствует задаче "дано координатное представление некоторого объекта в нескольких ИСО, показать является ли он геометрическим объектом или нет".
4. А со скоростью центра инерции все хорошо - можно прямо проверить (и получить удовольствие ), что она преобразуется как скорость при преобразованиях Лоренца.

[Munin]

В целом да.

По пункту 4: всё так, если вы рассматриваете замкнутую систему. Если же вы рассматриваете незамкнутую, то у вас при преобразованиях Лоренца могут измениться моменты времени, когда какие-то тела системы получают импульсы от внешних сил. Из-за этого могут возникнуть дополнительные трудности.

Например, знаменитая задача с двумя лягушками (с точки зрения механики некорректная, решение указывает на необходимую коррекцию):

Лайтман, Пресс, Прайс, Тюкольски. Задачи по теории относительности и гравитации.

Цитата:

Задача 1.24. Две гигантские лягушки пойманы, заключены в большой металлический цилиндр и помещены в самолет. Во время полета дверцы багажного отделения случайно раскрылись и цилиндр с лягушками выпал. Почуяв неладное, лягушки попытались выбраться наружу. Они собрались посредине цилиндра и, оттолкнувшись друг от друга, одновременно ударили в днища. Затем, мгновенно оттолкнувшись от «своего» днища, каждая лягушка перелетела, не задев другую, через весь цилиндр и ударила в противоположное днище. Так продолжалось до тех пор, пока цилиндр не ударился о землю. Рассмотреть, как выглядело то, что происходило в цилиндре, из некоторой другой инерциальной системы отсчета, падающей с другой скоростью. В этой системе отсчета лягушки ударяют в днища цилиндра неодновременно, и поэтому цилиндр то рывком развивает скорость, превосходящую его среднюю скорость $\beta,$ то рывком начинает двигаться со скоростью, меньшей $\beta.$ Но в некоторой инерциальной системе отсчета цилиндр покоился. Означает ли это, что одна инерциальная система отсчета может двигаться рывками то вперед, то назад относительно другой инерциальной системы отсчета?

По пункту 2: В ОТО необходимо, а в СТО возможно, включить в рассмотрение также и энергию-импульс тех тел, которые осуществляют то самое "воздействие внешней силы". В таком случае, получается более замкнутая система, и для неё рассмотрение может быть удобней.

[waxtep]

Да-да, задача про лягушек явилась одним из факторов, побудивших меня взяться за освежение СТО (по ходу оказалось, что я многие базовые вещи в принципе правильно не понимал! приятно, хоть и с запозданием, это дело постепенно исправлять). Задача 59 в Тейлоре, Уилере - это она же, и переводчик там дает комментарий о некорректности приближения абсолютной жесткости цилиндра, "даже в системе отсчета ракеты, где соударения в противоположных концах происходят одновременно, импульсы, переданные трубе, не сразу взаимно уничтожаются ввиду конечной скорости распространения акустической волны" и т.д.

[Munin]

Окей. Решение с 2 лягушками из ЛППТ вам всё понятно?

[waxtep]

Да, спасибо! Буду двигаться дальше