неопределённый интеграл

[ChiCha]

Не получается решить интеграл $\int\frac{x^3+1}{x^2(1-x)}dx$

в ответах написано $-x-\frac{1}{x}-2\ln|x-1|+\ln|x|+C$

у меня выходит $-x-\ln|x-1|-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C$

по ходу решения я выделял целую часть и разбивал дробь на сумму в итоге получилось
$\int-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}dx$

далее пытался взять взять интеграл от каждого из слагаемых и получилось то, что получилось

[Lia]

Подробнее напишите, пожалуйста, как разбивали и как пытались.

[ChiCha]

$\frac{x^3+1}{x^2(1-x)}$ при делении с остатком даёт $-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ далее $-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ разбивается на $-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}$ интегралы от -1 и от $\frac{x^2}{x^2(1-x)}$ будут -x и -ln|x-1| соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$, далее после приведения выражения к общему знаменателю получилось $\frac{Ax^2-A+Bx^2+Cx}{(x^2-1)x}$ после приравнивания коэффициентов при иксах с одинаковыми степенями в числителях вышло, что A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx вышло $-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C$

[Dan B-Yallay]

ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):

соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$, ...вышло, что A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx

ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):

A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx

СложИте вот это $\dfrac{-1}{x}+\dfrac{x}{x^2-1}$ обратно и убедитесь, что $\dfrac{1}{x^2(x-1)}$ не получается. Попробуйте на $\dfrac {(Ax+B)} {x^2} + \dfrac {C}{(x-1)}$

[Someone]

ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):

соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$

Откуда там взялось $x^2-1$? Там совсем другое разложение должно быть. И уж, конечно,

ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):

$-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ разбивается на $-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}$

было просто ненужным преобразованием, удлиняющим решение.

[ChiCha]

Теперь всё сошлось, спасибо огромное всем за подсказки и за замечания