2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 18:52 


01/03/16
3
Не получается решить интеграл $\int\frac{x^3+1}{x^2(1-x)}dx$

в ответах написано $-x-\frac{1}{x}-2\ln|x-1|+\ln|x|+C$

у меня выходит $-x-\ln|x-1|-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C$

по ходу решения я выделял целую часть и разбивал дробь на сумму в итоге получилось
$\int-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}dx$

далее пытался взять взять интеграл от каждого из слагаемых и получилось то, что получилось

 Профиль  
                  
 
 Re: неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 18:59 


20/03/14
12041
Подробнее напишите, пожалуйста, как разбивали и как пытались.

 Профиль  
                  
 
 Re: неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 19:27 


01/03/16
3
$\frac{x^3+1}{x^2(1-x)}$ при делении с остатком даёт $-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ далее $-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ разбивается на $-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}$ интегралы от -1 и от $\frac{x^2}{x^2(1-x)}$ будут -x и -ln|x-1| соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$, далее после приведения выражения к общему знаменателю получилось $\frac{Ax^2-A+Bx^2+Cx}{(x^2-1)x}$ после приравнивания коэффициентов при иксах с одинаковыми степенями в числителях вышло, что A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx вышло $-\ln|x|+\frac{1}{2}\ln|x^2-1|+C$

 Профиль  
                  
 
 Re: неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10377
ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):
соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$, ...вышло, что A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx
ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):
A=-1, B=1, C=0, после взятия интеграла $\int\frac{-1}{x}+\frac{x}{x^2-1}$dx

СложИте вот это $\dfrac{-1}{x}+\dfrac{x}{x^2-1}$ обратно и убедитесь, что $\dfrac{1}{x^2(x-1)}$ не получается. Попробуйте на $\dfrac {(Ax+B)} {x^2} + \dfrac {C}{(x-1)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 20:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18035
Москва
ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):
соответственно, $\frac{1}{x^2(x-1)}$ я разложил на $\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2-1}$
Откуда там взялось $x^2-1$? Там совсем другое разложение должно быть. И уж, конечно,
ChiCha в сообщении #1103451 писал(а):
$-1+\frac{x^2+1}{x^2(1-x)}$ разбивается на $-1+\frac{x^2}{x^2(1-x)}+\frac{1}{x^2(1-x)}$
было просто ненужным преобразованием, удлиняющим решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: неопределённый интеграл
Сообщение01.03.2016, 21:01 


01/03/16
3
Теперь всё сошлось, спасибо огромное всем за подсказки и за замечания

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Alex Krylov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group