Модель ИВ

[Unx]

Аксиомы ИВ такие:
$(p \to (q \to p))$
$((p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)))$
$((\neg p \to \neg q) \to (q \to p))$
Можно ли предложить модель для такой формальной системы?? Аксиомы у нас бескванторные, с другой стороны неясно куда эти кванторы навешивать. Если слева добавить $\forall p \forall q \forall r$ это будет ошибка. Здесь же нет ни одного предикатного символа, следовательно нет ни одной формулы! Тогда исчисление высказываний вообще не является теорией и вопрос существования модели не имеет смысла...

Можно определить некоторую бессмысленную структуру с интерпретационной функцией, которая символы $p,q,r$ интерпретирует как логические переменные, а $\neg$ и $\to$ интерпретирует как булевы операции. Но ни одна формула ИВ не будет истинной на этой структуре, просто потому, что у нас нет формул Я, кажется, немного запутанно поставил вопрос, но вы же понимаете, что я хочу спросить?

[Xaositect]

Обычно дают отдельное определение интерпретации (а также формул и т.п.) для исчисления высказываний и исчисления предикатов.
Но можно просто считать высказывания предикатами от нуля аргументов, и получится классическая интерпретация исчисления высказываний с помощью булевых функций.

[Unx]

Я себе плохо представляю, что такое $0$-местный предикат. Если это просто логическая переменная (независимая ни от каких других переменных), то как навешивать кванторы? Аргументов-то нет.

Xaositect в сообщении #1103324 писал(а):

Обычно дают отдельное определение интерпретации (а также формул и т.п.) для исчисления высказываний

Где прочитать об этом, в какой книге?

[Xaositect]

Unx в сообщении #1103325 писал(а):

Где прочитать об этом, в какой книге?

У меня сейчас ни одной книги по логике под рукой нет, обычно в учебниках это излагается на языке таблиц истинности. Но гугление выдает много материалов, где интерпретация в пропозициональной логике определяется как сопоставление каждой пропозициональной переменной некоторого истинностного значения, например, тут: http://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/teachin ... cture2.pdf или тут: http://www.univer.omsk.su/departs/comps ... rlogic.htm

Unx в сообщении #1103325 писал(а):

Я себе плохо представляю, что такое $0$-местный предикат. Если это просто логическая переменная (независимая ни от каких других переменных), то как навешивать кванторы? Аргументов-то нет.

Для интерпретации совершенно не обязательно, чтобы формула содержала кванторы или переменные.

[Unx]

Xaositect, переменные $p,q,r$ как входят? Связанно или свободно? Если связанно, то где кванторы? Если свободно, то аксиомы ИВ не являются предложениями, а ИВ тогда не является теорией. Более четко я не могу сформулировать свой вопрос из-за того, что не знаю что такое формула в ИВ. Нужно какое-то новое определение.

[Xaositect]

$p, q, r$ - это не предметные переменные, а пропозициональные. Трактовать их надо как замкнутые формулы.

Определение формулы в ИВ такое: любая пропозициональная переменная является формулой, если $A$ и $B$ - формулы, то $\neg A$, $A\to B$ - тоже формулы, других формул нет.
Интерпретация - это сопоставление каждой пропозициональной переменной некоторого истинностного значения из множества $\{0, 1\}$.
Определение истинности формулы при заданной интерпретации - пропозициональная переменная истинна, если ей сопоставлено значение $1$, и ложна в противном случае, $\neg A$ истинна, если $A$ ложна, и наоборот, $A \to B$ истинна во всех случаях, кроме того, когда $A$ истинна и $B$ ложна, в этом случае $A\to B$ ложна.

Если взять исчисление предикатов, в котором есть нульарные предикатные символы (ИП0), то можно построить перевод из ИВ в ИП0, который просто сопоставляет каждой пропозициональной переменной некоторый нульарный предикатный символ (каждой свой). При этом истинность получившейся формулы не зависит от интерпретации (объектных) переменных, потому что их там нет, а только от интерпретации нульарных предикатов. Поскольку для каждого нульарного предикатного символа есть ровно две интерпретации, то интерпретации ИВ однозначно соответствуют интерпретациям ИП0, и истинность формулы ИВ и соответствующей ей формулы ИП0 совпадают.

[Unx]

Извините. Я посмотрел книжку по ссылке. В ней немного не то, что нужно. Определяется истинность формулы с конъюнкцией, но конъюнкции у меня нет. Зато есть импликация.
Во-вторых создается ощущение, будто существует всего одна модель для ИВ. А что если использовать вместо импликации эквиваленцию? Что тогда?

Xaositect в сообщении #1103435 писал(а):

нульарные предикатные символы

Предложением называется формула, которая не содержит свободного вхождения переменных. Я хотел бы понять, является ли формула из одного нульарного предикатного символа предложением и почему.

[Xaositect]

Unx в сообщении #1103442 писал(а):

Предложением называется формула, которая не содержит свободного вхождения переменных. Я хотел бы понять, является ли формула из одного нульарного предикатного символа предложением и почему.

Является. Потому что она не содержит свободных вхождений переменных (и связанных тоже не содержит).

Unx в сообщении #1103442 писал(а):

Извините. Я посмотрел книжку по ссылке. В ней немного не то, что нужно. Определяется истинность формулы с конъюнкцией, но конъюнкции у меня нет. Зато есть импликация.

Ну сделайте по аналогии, делов-то.

[Unx]

А, вот написано у Верещагина и Шеня:

Цитата:

Если формула представляет собой нульместный предикатный символ, то её значение не зависит от оценки и есть значение этого символа.

Там же формулы с импликацией рассматриваются по аналогии.

Тогда у нас действительно одна модель ИВ. Никаких других моделей не существует?

-- 01.03.2016, 20:51 --

Я что хочу сказать. Понятие истинности мы вроде как сформулировали. Структура? Носитель структуры не играет никакой роли, поскольку предикаты нульарные и аргументов из носителя не требуют. Сигнатура - множество нелогических символов. Она не играет вроде бы никакой роли, потому что почти все символы у нас логические! Единственное, что придется затолкать в сигнатуру это сами предикатные буквы $p,q,r$. Всё. Что остается? Только интерпретационная функция, которая эти буквы превращает в константы $0$ или $1$.
Осталось только подобрать такую функцию, чтобы каждая формула принимала истинное значение. Но у меня есть ощущение, что и подбирать ничего не надо. Я так присматриваюсь к формулам и кажется, что что бы мы ни подставили, все равно значение всех формул будет $1$.
Вариантов вроде бы нет никаких. Все модели будут отличаться лишь тем, какие значения $I$ приписывает нашим предикатным буквам. Больше разницы я никакой не вижу.

[Unx]

Мне только хотелось понять, правильно ли я рассуждаю.