2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 07:53 


08/12/15
62
Аксиомы ИВ такие:
$(p \to (q \to p))$
$((p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)))$
$((\neg p \to \neg q) \to (q \to p))$
Можно ли предложить модель для такой формальной системы?? Аксиомы у нас бескванторные, с другой стороны неясно куда эти кванторы навешивать. Если слева добавить $\forall p \forall q \forall r$ это будет ошибка. Здесь же нет ни одного предикатного символа, следовательно нет ни одной формулы! Тогда исчисление высказываний вообще не является теорией и вопрос существования модели не имеет смысла...

Можно определить некоторую бессмысленную структуру с интерпретационной функцией, которая символы $p,q,r$ интерпретирует как логические переменные, а $\neg$ и $\to$ интерпретирует как булевы операции. Но ни одна формула ИВ не будет истинной на этой структуре, просто потому, что у нас нет формул :facepalm: Я, кажется, немного запутанно поставил вопрос, но вы же понимаете, что я хочу спросить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 10:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Обычно дают отдельное определение интерпретации (а также формул и т.п.) для исчисления высказываний и исчисления предикатов.
Но можно просто считать высказывания предикатами от нуля аргументов, и получится классическая интерпретация исчисления высказываний с помощью булевых функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 10:55 


08/12/15
62
Я себе плохо представляю, что такое $0$-местный предикат. Если это просто логическая переменная (независимая ни от каких других переменных), то как навешивать кванторы? Аргументов-то нет.
Xaositect в сообщении #1103324 писал(а):
Обычно дают отдельное определение интерпретации (а также формул и т.п.) для исчисления высказываний
Где прочитать об этом, в какой книге?

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 15:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Unx в сообщении #1103325 писал(а):
Где прочитать об этом, в какой книге?
У меня сейчас ни одной книги по логике под рукой нет, обычно в учебниках это излагается на языке таблиц истинности. Но гугление выдает много материалов, где интерпретация в пропозициональной логике определяется как сопоставление каждой пропозициональной переменной некоторого истинностного значения, например, тут: http://cgi.csc.liv.ac.uk/~frank/teachin ... cture2.pdf или тут: http://www.univer.omsk.su/departs/comps ... rlogic.htm

Unx в сообщении #1103325 писал(а):
Я себе плохо представляю, что такое $0$-местный предикат. Если это просто логическая переменная (независимая ни от каких других переменных), то как навешивать кванторы? Аргументов-то нет.
Для интерпретации совершенно не обязательно, чтобы формула содержала кванторы или переменные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 18:44 


08/12/15
62
Xaositect, переменные $p,q,r$ как входят? Связанно или свободно? Если связанно, то где кванторы? Если свободно, то аксиомы ИВ не являются предложениями, а ИВ тогда не является теорией. Более четко я не могу сформулировать свой вопрос из-за того, что не знаю что такое формула в ИВ. Нужно какое-то новое определение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
$p, q, r$ - это не предметные переменные, а пропозициональные. Трактовать их надо как замкнутые формулы.

Определение формулы в ИВ такое: любая пропозициональная переменная является формулой, если $A$ и $B$ - формулы, то $\neg A$, $A\to B$ - тоже формулы, других формул нет.
Интерпретация - это сопоставление каждой пропозициональной переменной некоторого истинностного значения из множества $\{0, 1\}$.
Определение истинности формулы при заданной интерпретации - пропозициональная переменная истинна, если ей сопоставлено значение $1$, и ложна в противном случае, $\neg A$ истинна, если $A$ ложна, и наоборот, $A \to B$ истинна во всех случаях, кроме того, когда $A$ истинна и $B$ ложна, в этом случае $A\to B$ ложна.

Если взять исчисление предикатов, в котором есть нульарные предикатные символы (ИП0), то можно построить перевод из ИВ в ИП0, который просто сопоставляет каждой пропозициональной переменной некоторый нульарный предикатный символ (каждой свой). При этом истинность получившейся формулы не зависит от интерпретации (объектных) переменных, потому что их там нет, а только от интерпретации нульарных предикатов. Поскольку для каждого нульарного предикатного символа есть ровно две интерпретации, то интерпретации ИВ однозначно соответствуют интерпретациям ИП0, и истинность формулы ИВ и соответствующей ей формулы ИП0 совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 19:14 


08/12/15
62
Извините. Я посмотрел книжку по ссылке. В ней немного не то, что нужно. Определяется истинность формулы с конъюнкцией, но конъюнкции у меня нет. Зато есть импликация.
Во-вторых создается ощущение, будто существует всего одна модель для ИВ. А что если использовать вместо импликации эквиваленцию? Что тогда?
Xaositect в сообщении #1103435 писал(а):
нульарные предикатные символы
Предложением называется формула, которая не содержит свободного вхождения переменных. Я хотел бы понять, является ли формула из одного нульарного предикатного символа предложением и почему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 19:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Unx в сообщении #1103442 писал(а):
Предложением называется формула, которая не содержит свободного вхождения переменных. Я хотел бы понять, является ли формула из одного нульарного предикатного символа предложением и почему.
Является. Потому что она не содержит свободных вхождений переменных (и связанных тоже не содержит).

Unx в сообщении #1103442 писал(а):
Извините. Я посмотрел книжку по ссылке. В ней немного не то, что нужно. Определяется истинность формулы с конъюнкцией, но конъюнкции у меня нет. Зато есть импликация.
Ну сделайте по аналогии, делов-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение01.03.2016, 19:33 


08/12/15
62
А, вот написано у Верещагина и Шеня:
Цитата:
Если формула представляет собой нульместный предикатный символ, то её значение не зависит от оценки и есть значение этого символа.
Там же формулы с импликацией рассматриваются по аналогии.

Тогда у нас действительно одна модель ИВ. Никаких других моделей не существует?

-- 01.03.2016, 20:51 --

Я что хочу сказать. Понятие истинности мы вроде как сформулировали. Структура? Носитель структуры не играет никакой роли, поскольку предикаты нульарные и аргументов из носителя не требуют. Сигнатура - множество нелогических символов. Она не играет вроде бы никакой роли, потому что почти все символы у нас логические! Единственное, что придется затолкать в сигнатуру это сами предикатные буквы $p,q,r$. Всё. Что остается? Только интерпретационная функция, которая эти буквы превращает в константы $0$ или $1$.
Осталось только подобрать такую функцию, чтобы каждая формула принимала истинное значение. Но у меня есть ощущение, что и подбирать ничего не надо. Я так присматриваюсь к формулам и кажется, что что бы мы ни подставили, все равно значение всех формул будет $1$.
Вариантов вроде бы нет никаких. Все модели будут отличаться лишь тем, какие значения $I$ приписывает нашим предикатным буквам. Больше разницы я никакой не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Модель ИВ
Сообщение02.03.2016, 18:21 


08/12/15
62
Мне только хотелось понять, правильно ли я рассуждаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group