электростатика проводники

[Stensen]

Доброго всем времени суток. Уважаемые проверьте плз решение, никак не пойму где ошибаюсь. Не сходится с ответом. В 2-х задачниках ответы одинаковые, а у меня нет. Что-то мне подсказывает, что ошибка у меня. Задача: Между двумя заземленными металлическими пластинами находится такая же по размерам тонкая пластина с поверхностной плотностью заряда $ \sigma $. Расстояния $ a $ и $ b $ много меньше линейных размеров пластин. Найти поверхностную плотность зарядов на верхней и нижней пластинах: $ \sigma_1, \sigma_2 $ и напряженности полей $ E_1, E_2 $ соответственно.



$ \left\{ \begin{array}{rcl} E_a=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\ \\ E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2) \\ \\ \sigma_1+\sigma_2+\sigma=0 \\ \varphi - \varphi_1 = E_a \cdot a \\ \varphi - \varphi_2 = E_b \cdot b \\ \end{array} \right. $

Вычитая из 5-го уравнения 4-е, получим,т.к $ \varphi_1=\varphi_2=0 $:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} E_a=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\ \\ E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2)\\ \\ E_a = \frac{E_b \cdot b}{a} \\ \\ \sigma_1 + \sigma + \sigma_2 =0 \\ \end{array} \right.$$

,

подставим 3-е в 1-е уравнение:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} E_b=\frac{a}{b} \cdot \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) \\ \\ E_b=\frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2)\\ \\ \sigma_1 + \sigma + \sigma_2 = 0\\ \end{array} \right.$$

приравняем 1-е и 2-е (правые части) и приведем подобные:

$\left\{ \begin{array}{rcl} (b-a)\sigma + (a+b)\sigma_2 = (a+b)\sigma_1 \\ \sigma_1 = - \sigma - \sigma_2 \\ \end{array} \right.$,

подставим 2-е в 1-е и получим:

$ \sigma_1 = -\sigma \frac{a}{a+b}, \sigma_2 = -\sigma \frac{b}{a+b} $.

Ответ в задачниках: $ \sigma_1 = -\sigma \frac{b}{a+b}, \sigma_2 = -\sigma \frac{a}{a+b} $.

Проверял несколько раз, результат тот же, видимо делаю что-то не правильно. Подскажите плз где мой прокол. Всем заранее спасибо!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите формулы вместо картинки (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[AnatolyBa]

Проверьте знаки, в самом начале, в формулах для напряженностей

[Munin]

Я бы на вашем месте подставлял изначальное третье в первое и второе. А если слегка подумать, то то же самое можно просто и на пальцах написать. Раз система снаружи окружена замкнутыми проводниками, да ещё и заземлёнными, то снаружи неё поле нуль... и понеслась.

[Stensen]

AnatolyBa в сообщении #1102977 писал(а):

Проверьте знаки, в самом начале, в формулах для напряженностей

Я видимо не верно понимаю правило расстановки знаков в этих формулах, знаки сигм выбираю так:
1. в верхнем полупространстве:
- вектор напряженности от средней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от нижней пластины НЕ совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен в противоположную сторону от $ E_a $, поэтому беру: $ - \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} $

2. в нижнем полупространстве аналогично:
- вектор напряженности от средней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от верхней пластины НЕ совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен в противоположную сторону от $ E_b $ поэтому беру: $ - \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $
- вектор напряженности от нижней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_b $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен так же как и $ E_b $, поэтому беру: $ + \frac{\sigma_2}{2\varepsilon_0} $

Где моя ошибка, подскажите плз?

Munin в сообщении #1102991 писал(а):

Раз система снаружи окружена замкнутыми проводниками, да ещё и заземлёнными, то снаружи неё поле нуль... и понеслась.

Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю? Но все равно со знаками надо разобраться.

[rustot]

Мне кажется, что "много меньше" подразумевает, что не должны расстояния иметь значения для поля, как и при бесконечных пластинах. Тогда в силу симметрии на заземленных пластинах $-\sigma/2$ и соответственно равные по модулю поля в двух зазорах, а от расстояний зависит только потенциал пластины

ps. хотя не, вру, так же не сойдется потенциал посчитанный через то и другое поля. ну тогда поля обратно пропорциональны расстояниям и отсюда плотности которые бы такие поля создали

Stensen в сообщении #1103027 писал(а):

Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю? Но все равно со знаками надо разобраться.

Так вы в вашей системе это и так уже учли, заявив сумму плотностей нулевой

[AnatolyBa]

Stensen
Как то вы усложняете. Если внимательно посмотреть на конфигурацию, можно почти сразу записать, во-первых, соотношение между напряженностями, во-вторых сумму напряженностей, и т. д.
Но и в вашем общем методе есть свои резоны - он будет работать в более сложных случаях.
Но если метод общий - так уж общий. Когда вы пишете $\sigma+\sigma_1+\sigma_2=0$ вы берете заряд вместе со знаком, поэтому здесь

Stensen в сообщении #1103027 писал(а):

вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $

вы учитываете знак два раза - на один раз больше, чем нужно

[Stensen]

AnatolyBa в сообщении #1103038 писал(а):

Stensen
Когда вы пишете $\sigma+\sigma_1+\sigma_2=0$ вы берете заряд вместе со знаком, поэтому здесь

Stensen в сообщении #1103027 писал(а):

вектор напряженности от верхней пластины совпадает с выбранным направлением вектора $ E_a $, т.к. заряд отрицательный и вектор поля направлен к верхней пластине, т.е. так же как и $ E_a $ поэтому беру: $ + \frac{\sigma_1}{2\varepsilon_0} $

вы учитываете знак два раза - на один раз больше, чем нужно

В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов. Если заранее нельзя определить знак заряда (не в этом случае), то как нужно написать выражение для $ E_a $?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1103060 писал(а):

В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов.

Знаки зарядов нужно определить так же, как и в формуле для суммы. У вас сейчас в формулах для полей знаки обратные.

[Stensen]

DimaM в сообщении #1103063 писал(а):

Stensen в сообщении #1103060 писал(а):

В записи: $ \sigma+\sigma_1+\sigma_2=0 $ я беру заряды вместе со своими знаками (это из теоремы Гаусса, где беру замкнутую область, проходящую внутри верхней и нижней пластин) . Какие знаки зарядов получу в результате вычислений, такие и будут. А в записи для напряженности, простите, не понял как определить знаки зарядов.

Знаки зарядов нужно определить так же, как и в формуле для суммы. У вас сейчас в формулах для полей знаки обратные.

Т.е я должен написать:

$ E_a = + \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma - \sigma_1 + \sigma_2) $

$ E_b = + \frac{1}{2\varepsilon_0} (\sigma + \sigma_1 - \sigma_2) $

Так?

[DimaM]

Stensen в сообщении #1103072 писал(а):

Так?

Да.

[Stensen]

Уважаемые, я сформулировал правило расстановки знаков зарядов на проводящих пластинах "многопластинчатого" конденсатора, проверьте плз :

1. условно выбираем произвольные "положительные" направления вектора напряженности электрополя между соседними пластинами
2. знаки зарядов на пластинах выбираем такие же как и в теореме Гаусса, (т.е. все: $ + \sigma_i $)
3. в уравнениях напряженности поля, между пластинами, знаки зарядов выбираем по принципу: если вектор поля, создаваемого данным зарядом, сонаправлен с условно выбранным "положительным" направлением поля между рассматриваемыми пластинами, то перед этим членом ставим "+", если не совпадает, "минус".

Все ли верно?

[Munin]

Stensen в сообщении #1103027 писал(а):

Намек понял, нужно просуммировать напряженности от всех пластин снаружи и приравнять нулю?

Намёк ещё проще. Если "за спиной" пластины поле нуль, то поле перед ней - создано только зарядом на самой пластине (без двоечки в знаменателе). Я ж говорю, на пальцах посчитать можно.

-- 29.02.2016 15:42:03 --

(Ещё можно представить мысленно график потенциала от координаты. Тут уж совсем всё станет элементарно.)