Взаимно обратные функции. Нерешаемая задача?

[DeBill]

Dan B-Yallay

sergei1961
Фигня всякая со сдвигом Карлемана - это чуток не то.
У них там все наоборот: фиксируют некую $f$, такую, что $f(f(x)) = x$, $x \in$ границе области, и ищут голоморфную в области функцию, которая в парах точек $x, f(x)$ как нибудь хорошо согласована (напр, отличается только знаком), для всех $x$. Ну, типа: для Лапласа можно ставить задачу Дирихле (задаем фуекцию на границе), или Неймана (задали нормальную производную). А можно и скомбинировать: третью задачу поставить, указав связь (в граничных точках) между функцией и производной (нормальной). А можно совсем извратиться, указав связь значения функции в граничной точке со значением в "противоположной" граничной. Вот эта $f$ и показывает, кто кому "противоположен".
Ну вот, и если эта (уже заданная $f$) , или область, или связь не слишком хороши, то у извращенной краевой задачи будут проблемы с существованием решений.

[sergei1961]

фигня-не нужно так писать о том, в чём не разбираетесь. В монографии Литвинчука про интегральные уравнения со сдвигом Карлемана перечислены несколько сот работ на тот момент времени, в том числе выполненные несколькими десятками всемирно известных математиков. С тех пор и ещё много чего появилось. Им и напишите - многие ещё живы- что они занимались фигней.
Кстати, то что Вы далее называете извращениями-это теория двух(много) точечных краевых задач, целый раздел современной теории УЧП, по которой тоже тысячи работ. Всё это вместе вызывает серьёзные сомнения в...

[DeBill]

sergei1961
Оляля...
Ну, давайте объяснимся. В моем лексиконе слова "фигня" и "извращение" не имеют никакого негативного оттенка, и служат для обозначения произвольных вещей (ну вот такой я несерьезный товарищ). Мне показалось, что, - судя по вашему посту - имеется в наличии некоторое смешение понятий из совершенно разных областей. С целью оказания помощи, я попытался, используя язык низшего уровня (в котором одно слово описывает произвольные области знания, но зато его использование позволяет избечь (я знаю, как это слово правильно пишется) несущественных деталей) указать на отличие той "фигни", которая обсуждалась в теме, от других "фигней". Судя по Вашей реакции, в помощи такой Вы не нуждаетесь. Приношу Вам за это свои искренние извинения. DeBill.

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1102732 писал(а):

Всё это вместе вызывает серьёзные сомнения в...

наличии чувства юмора?

[Lia]

sergei1961
Однако мне кажется, было бы много познавательнее, если бы Вы (например, с целью просвещения или с целью развеять общие заблуждения) написали, какое отношение сдвиги Карлемана имеют к решению уравнения $f(f(x))=x$ и как из общей теории следует, что этих решений нет (когда они все-таки есть, даже целые), потому что рассказ о том, что это работает в УрЧП, несколько не относится к теме, тем более, что этого никто и не отрицал, как мне показалось.
Или хотя бы дали ссылку на какой-либо обзор. Именно по таким уравнениям и результатам. Пожалуйста.

[Alex_J]

DeBill в сообщении #1102596 писал(а):

А вообще, народ обычно что-то более общее ковыряет, а потом эту задачу смотрят как прикладную.

Так и есть, я уже поднимал вопросы "в окрестностях" этой темы раньше: раз и два.
Во втором случае пространно, но концептуально и много шире, чем здесь.

-- 28.02.2016, 15:39 --

Ну и ещё раньше: три.

[sergei1961]

Уважаемая Lia. Решения этого уравнения $f(f(x))=x$ и называются сдвигами Карлемана, так как это обобщения чего-то вроде $a-x$. Ссылка: Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом, М., Наука, 1977. В первой главе изучается сам сдвиг для более общего случая не только двух, но и любого числа итераций функции. Там есть исторический обзор и многочисленные ссылки.
"рассказ о том, что это работает в УрЧП, несколько не относится к теме, тем более, что этого никто и не отрицал, как мне показалось" - было ответом на "Фигня всякая со сдвигом Карлемана". Так мне показалось.
Про ссылку из LG мы оба правы: Zolodek, как было указано, -нет, Zоlаdek-есть. Спасибо за уточнение.
Кстати, благодаря этой теме нашёл на LG отличную книгу: Нечепуренко М.И. Итерации вещественных функций и...Новосибирск, 1997.

[DeBill]

Alex_J
Про РАЗ : это
($f \circ g = h \circ f$) - классическая задача, которая так и называется "задача о сопряжении".
Когда я выше говорил, что, мол, народ решает более общие задачи, а на той - их прикладывает - я как раз и имел в виду ее. Понимать ее можно так: можно ли подходящей заменой координат $f$ превратить отображение $g$ в отображение $h$ ? Задача эта - главная во всей теории динамических систем (с дискретным временем). А еще ее можно понимать так: можно ли заменой $f$ привести $g$ к нормальной форме $h$. Задачу начал систематически изучать Пуанкаре. Потом были Дюлак, Зигель, Брюно, и море прочих (ну, и я в их числе). Обзор результатов можно найти в книжке Арнольда "Доп. главы", в главе "Теория нормальных форм".
Вся КАМ - теория оттуда и выросла. Есть там и локальная одномерная динамика, и диффеоморфизмы окружности (по- вашему, решается задача о нормализации периодических отображений) - и народ там уже углубился до невероятных глубин).

[sergei1961]

DeBill -серьёзно задумался над Вашей формулировкой "задачи о сопряжении". Очень похоже на ещё одну область, где фактически изучаются операторы преобразования "=подходящие замены координат, чтобы превратить..." Для меня это очень полезная новая информация, так как всю жизнь ОП и занимаюсь. Ещё одна ипостась этой универсальной задачи-от подобия матриц до эквивалентности дифференциальных уравнений или абстрактных операторов.
Вы не обижайтесь, я не чтобы обидеть, но меня задело неуважительное по форме высказывание о разделах, которыми занимались и некоторые мои учителя, и некоторые хорошие знакомыке...

[DeBill]

ДВА.
1. В теории (дискретных) динамических систем традиционно используется обозначение $f^{[n]}$ для композиции $f \circ f \circ ... \circ f$ . Если есть обратное к $f$, то $n$ можно считать целым. Если есть "корни" из $f$, можно рассматривать "дробные итерации". Французы пошли и дальше: пусть $f(z) = c_1 \cdot z + c_2 \cdot z^2 + ...$ . Вычислим, для натурального $n$, $f^{[n]}$, легко видеть, что его к-т при $z^k$ есть многочлен от $n$. А теперь подставим вместо $n$ любое КОМПЛЕКСНОЕ число $w$; сумму полученного ряда обзовем "итерационной степенью порядка $w$ " от $f$. Вопрос был: когда (для каких $f$) это можно сделать (т.е., когда ряды будут сходиться - и для каких $w$. Задача под именем $w-$ итерируемость, была одно время (лет 40 назад) популярна во Франции - а потому, видать, что они ее и поставили. Для отображений $f(z) = kz + ..., k>0$, ответ: либо для всех $w$, либо для циклической подгруппы из $C$.
2. Ваш генератор существует если и только если имеет место первая возможность.
Этот генератор - решение "задачи о включении" - я писал выше.

На русском кое-что о всем этом можно прочесть в старой работе Воронина (Функц. анализ, 1981, т 15) (там как раз и решается задача о сопряжении). Из боле современных - у Жоландека.

-- 28.02.2016, 16:50 --

sergei1961 в сообщении #1102782 писал(а):

от подобия матриц до эквивалентности дифференциальных уравнений или абстрактных операторов.

Совершенно верно: это как раз и называют эквивалентностью. И ноги у подхода этого в точности растут из Жордановых нормальных форм. И в первую голову Пуанкаре и ставил вопрос о нормальных формах именно ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ уравнений, и только позже стали изучать те же вопросы для отображений

-- 28.02.2016, 17:06 --

Alex_J
А, так это была Ваша тема!
Я смотрел ее - и, вроде, после того, как один из участников обсуждения показал, что задача сводится к классической задаче про "удвоение", тема иссякла...
Ну, если Вас интересуют такие штучки (блин, стал за языком следить...), то Вам, может, интересно будет посмотреть про "универсальность Фейгенбаума" - как из порядка (из итераций вполне конкретного отображения) рождается хаос.
Есть пара книжек (Каток, Хассельблат ВВедение в теорию дин. систем,2005, например), где более-менее подробно изложено современное состояние...

-- 28.02.2016, 17:07 --

(Оффтоп)

sergei1961 в сообщении #1102782 писал(а):

Вы не обижайтесь

Да ладно, проехали...

[sergei1961]

DeBill -просмотрел Арнольда, главу про нормальные формы. Задачу сопряжения в указанной Вами формулировке с ходу не нашёл. Куда смотреть поточнее?

[Lia]

sergei1961
Там только самые простые результаты, и они в этой теории локальные: мне же показалось, Вас больше интересуют глобальные.
Глава 5, параграф 25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной точки.
Более поздние результаты в этом направлении упомянуты в обзоре Арнольда, Ильяшенко "Динамические системы-1" том 1, (Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики, Фундаментальные направления), там тоже немного, аналитическая классификация ростков отображений в окрестности неподвижной точки, буквально один параграф. Собственно, мне кажется, бóльшая часть результатов, там упомянутых - кроме более поздних - уже здесь перечислена.

Катка синего еще возьмите, для начала, если не читали.

[DeBill]

Lia
А этот, которого я указал - у меня он как раз синий....

[Alex_J]

DeBill в сообщении #1102790 писал(а):

А, так это была Ваша тема!
Я смотрел ее - и, вроде, после того, как один из участников обсуждения показал, что задача сводится к классической задаче про "удвоение", тема иссякла...

Рад, что здесь так много единомышленников, а точнее, высоко "качество", это важнее, чем количество ;)
Тема иссякла, т.к. требуется время на изучение материала.

Для начала книга В.Ш. Бурда "Введение в динамику одномерных отображений" - то, что надо!

А я уже думал, по обильному молчанию, что это всё никому неинтересно.

-- 29.02.2016, 01:08 --

На основе новых данных скоро выложу более глубоко исследование в теме про $x-\frac 1 x$.

[sergei1961]

А где изложена точно теория упрощающих эквивалентных замен именно для дифференциальных уравнений?

[Lia]

В тех же источниках. Это родственные задачи, искать надо рядом.