Теорема о компактном вложении в пространствах соболева.

[dikiy]

Широко известна теорема о компактном вложении пространства Соболева $W_p^m(\Omega)$ в $C^0(\overline\Omega)$, где $C^0$ - это пространство непрерывных функций. Другими словами, из ограниченной по норме последовательности $\x_i$ в $W_2^1$ мы можем выбрать равномерно сходящуюся по супремум-норме подпоследовательность непрерывных $\hat x_i,$ где $\hat x_i \equiv x_i.$

Вопрос собственно в следующем. Как можно доказать, что если $x_i$ слабо сходится к $x,$ то та самая подпоследовательность $\hat x_i$, о которой идет речь в предыдущем абзаце сходится к $\hat x?$ Интересует собственно случай с $p=2, m=1.$ То есть гильбертово пространство $W_2^1.$

Пока единственная моя идея, которая кажется рабочей - это использовать компактность воложения $W_2^1(\Omega)\to L_2(\Omega).$ Таким образом мы имеем компактное вложение между двумя гильбертовыми пространствами и мы можем с помощью неравенства Гёльдера показать, что в случае $x_i\rightharpoonup 0$ в $W_2^1,$ следует $\|x_i\|_{L_2}\to 0.$ А отсюда и $\sup |\hat x_i|\to 0.$

Мне представляется это слишком перегруженным для такого, на первый взгляд простого вопроса. Да и тем более что такое сильное ограничение на $p$.... Можно ли это показать проще?

[dikiy]

Ошибка в формулировке.

Вот это

Цитата:

Другими словами, из ограниченной по норме последовательности $\x_i$

надо читать как

Цитата:

Другими словами, из ограниченной по норме последовательности $x_i$

[Dan B-Yallay]

dikiy в сообщении #1102566 писал(а):

Широко известна теорема о компактном вложении пространства Соболева $W_p^m(\Omega)$ в $C^0(\overline\Omega)$

Если Вы об этой теореме, то там существенна размерность $n$

$\Omega$- это из какого пространства?

[dikiy]

Собственно в моем случае $\Omega\subset \mathbb R$. Для простоты будем считать, что $\Omega$ - это открытый ограниченный интервал вещественной оси.

[dikiy]

Так как мой первый топик
topic106261.html
остался без ответов попробую сформулировать вопрос более обобщенно.

Дано два метрических топологических пространства $X$ и $Y.$ Допустим что они банаховы. Так же дана операция вложения $I:X\to Y$ которая непрерывна и компактна. То есть образы ограниченных по норме $\|\cdot\|_X$ множеств являются относительно компактными в $Y$ (в данной топологии).

собственно возникают следующие вопросы.

1. Какими свойствами должны обладать пространства $X$ и $Y,$ чтобы образ слабо сходящейся к $x$ последовательности в пространстве $X$ сходился сильно в пространстве $Y.$ ну или хотя бы, чтобы сходилась подпоследовательность; причем чтобы $I(x_i)$ сходился именно к $I(x).$

$$ x_i\to x\; \Rightarrow \; I(x_i)\to I(x) $$

2. Пусть пространства $X$ и $Y$ рефлексивны. Можно ли интерпретировать понятие компактного вложения как непрерывное отображение между пространством $X$ со слабой топологией в пространство $Y.$ То есть пусть есть топологическое пространство $(X,\mathcal O)$ и пусть $\tilde {\mathcal O}$ будет слабой топологией на этом пространстве. можно ли утверждать что понятия "непрерывно компактное вложение $I:(X,\mathcal O)\to Y$" и "непрерывное вложение $I:(X,\tilde{\mathcal O}) \to Y$" эквивалентны?

Я думаю да, так как в рефлексивных пространствах множества слабо компактны тогда и только тогда, когда они ограничены и замкнуты в сильной топологии. Где могут быть подводные камни?


Но собственно второй вопрос второстепенен и меня больше всего интересует первый:

Если пространства $X$ и $Y$ гильбертовы, то ответ на первый вопрос - да.

Доказывается от обратного. Допустим есть слабо сходящаяся к нулю последовательность $x_i.$ Пусть последовательность $I x_i$ сходится не к нулю, а к $y\neq 0.$ Тогда имеем

$$0<c<\|I x_i \|^2 \leq |(I x_i, I x_i -y)| + |(I x_i,y)| \leq \|I\| \| I x_i -y \| + |(x_i, I^* y)| \to 0.$$

Но что делать если пространство $Y$ не гильбертово? Тогда мы уже не можем использовать трюк со скалярным произведением....

[Lia]

dikiy
Не плодите темы со схожим содержанием. Ваша предыдущая - сегодняшняя. Форум не гарантирует немедленных ответов и вообще их не гарантирует, что вполне естественно. Перечитайте правила еще раз.

Темы объединены.

[DeBill]

dikiy
1. (Люстерник, Соболев, г.5, п.1.1, Теорема 1). Вполне непрерывный оператор отображает слабосходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

[dikiy]

DeBill в сообщении #1102645 писал(а):

dikiy
1. (Люстерник, Соболев, г.5, п.1.1, Теорема 1). Вполне непрерывный оператор отображает слабосходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.

Супер! Спасибо большое!

[g______d]

dikiy в сообщении #1102566 писал(а):

следует $\|x_i\|_{L_2}\to 0.$ А отсюда и $\sup |\hat x_i|\to 0.$

"Отсюда и" неверно, если что.

[dikiy]

g______d в сообщении #1102705 писал(а):

dikiy в сообщении #1102566 писал(а):

следует $\|x_i\|_{L_2}\to 0.$ А отсюда и $\sup |\hat x_i|\to 0.$

"Отсюда и" неверно, если что.

Если $\sup |\hat x_i| = c>0,$ то имеем окресность, в которой $\hat x_i$ больше нуля. А следовательно $\|x_i\|_{L_2}=\|\hat x_i\|_{L_2}>0.$

[DeBill]

dikiy
Неправда это. Посмотрите пример, и найдите ошибку в своем рассуждении.
Пример: $x_ n(t) = t^n$, на $[0,1]$.

[dikiy]

да, действительно. Спасибо.