Так как мой первый топик
topic106261.htmlостался без ответов попробую сформулировать вопрос более обобщенно.
Дано два метрических топологических пространства
и
Допустим что они банаховы. Так же дана операция вложения
которая непрерывна и компактна. То есть образы ограниченных по норме
множеств являются относительно компактными в
(в данной топологии).
собственно возникают следующие вопросы.
1. Какими свойствами должны обладать пространства
и
чтобы образ слабо сходящейся к
последовательности в пространстве
сходился сильно в пространстве
ну или хотя бы, чтобы сходилась подпоследовательность; причем чтобы
сходился именно к
2. Пусть пространства
и
рефлексивны. Можно ли интерпретировать понятие компактного вложения как непрерывное отображение между пространством
со слабой топологией в пространство
То есть пусть есть топологическое пространство
и пусть
будет слабой топологией на этом пространстве. можно ли утверждать что понятия "непрерывно компактное вложение
" и "непрерывное вложение
" эквивалентны?
Я думаю да, так как в рефлексивных пространствах множества слабо компактны тогда и только тогда, когда они ограничены и замкнуты в сильной топологии. Где могут быть подводные камни?
Но собственно второй вопрос второстепенен и меня больше всего интересует первый:
Если пространства
и
гильбертовы, то ответ на первый вопрос - да.
Доказывается от обратного. Допустим есть слабо сходящаяся к нулю последовательность
Пусть последовательность
сходится не к нулю, а к
Тогда имеем
Но что делать если пространство
не гильбертово? Тогда мы уже не можем использовать трюк со скалярным произведением....