Верхний предел интеграла переменная

[Александрович]

На входе интегрирующей RC-цепочки напряжение $u(t)$, на выходе - $U(t)$. Как математически правильно выразить $U(t)$ через $u(t)$?

[profrotter]

$$U(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t')h(t-t')dt'=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t-t')h(t')dt',$$

где $h(t)=\sigma(t)e^{-\frac{t}{\tau}}$ - импульсная характеристики RC-цепи, $\tau=RC$ - постоянная времени RC-цепи, $\sigma(t)$ - функция Хевисайда.

[Munin]

DeBill в сообщении #1102535 писал(а):

А ведь совсем не так давно (а кое где - физиков там, или лириков, все еще так и учат), под функцией понималось нечто расплывчатое (стыдливо называвшееся функциональной зависимостью), выглядевшее примерно так: пусть есть множество (независимых переменных), по которому бегает переменная $x$, и есть другое множество (зависимых переменных), по которому бегает другая переменная $y$, причем каждому значению одной отвечает вполне определенное значение другой. Вот тогда вся эта хрень и есть функция (или функ-я зависимость). При таком определении, независимая переменная - это некий непременный атрибут множества (области определения функции).

Не вижу разницы. Разве что вы подразумеваете, что во втором подходе аргумент функции обязательно выступает с некоторым фиксированным именем.

Ну так это вполне естественно для "физиков там". Нет никакого смысла обсуждать произвольную функцию $(\cdot)^2.$ Есть вполне разные функции $s(t)=at^2/2$ - пройденный путь ($s$) в зависимости от времени ($t$), или $E=CU^2/2$ - накопленная энергия ($E$) в зависимости от напряжения ($U$), и так далее. Легко заметить, что это даже не числовые функции $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$: они переводят размерные величины в размерные, по правилам действий с размерностями. (Кажется, это называется градуированной алгеброй?)

Более того, одна и та же формула $s=at^2/2$ может рассматриваться как функция (или "функциональная зависимость", если слово "функция" здесь по-вашему уже неприменимо) как от одной переменной ($t$), так и от двух переменных $(a,t),$ и только от $a,$ и даже от $A,B,C$ (подразумевая композицию с функциями $a(A,B,C),t(A,B,C)$).

То есть, в "физике там", за буквой-именем переменной закреплён какой-то смысл. А в "математике там" - нет. Поэтому математики и позволяют себе легко всё переименовывать, а физики - нет.

[DeBill]

Munin в сообщении #1102621 писал(а):

вы подразумеваете,

Это не Я подразумеваю. Это я подозреваю: я подозреваю, что наш уважаемый оппонент это подразумевает. Начитавшись его аргументации, я совсем уже хотел было пойти и застрелиться. Но передумал, и - в силу своих сил - попытался его понять. Результат этой попытки я и выложил выше. Мне то думалось, что я достаточно четко обрисовал всю бесперспективность попыток вправить ...эээ, ну че там обычно вправляют - ТС . Но, видимо, я попал на диспут правоверных и католиков, и мне тоже под горячую руку, боюсь, обломится (хоть сами мы - из сааамых правоверных), так что пойду ка я отседа....

-- 27.02.2016, 23:08 --

Munin
вообще то, в моем посте ""там" - это было не наречие и не местоуказание... Это было междометие

[Aritaborian]

(Аллюзии и реминисценции)

Перечитав топик, вдруг понял, что же это мне напоминает.
Ситуацию, когда известный герой из последних сил восклицает: «Это не мой Чёрный Ящик! Мой Чёрный Ящик это не ящик, точнее, не совсем ящик.» Но над ним неотвратимо нависает Большая Круглая Печать.

[Александрович]

profrotter в сообщении #1102610 писал(а):

$$U(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t')h(t-t')dt'=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t-t')h(t')dt',$$

где $h(t)=\sigma(t)e^{-\frac{t}{\tau}}$ - импульсная характеристики RC-цепи, $\tau=RC$ - постоянная времени RC-цепи, $\sigma(t)$ - функция Хевисайда.

Поскольку процесс интегрирования наблюдался в ограниченном интервале времени бесконечные пределы интегрирования стоит заменить на конечные. Во время процесса интегрирования никто не вмешивался с включением-выключение поэтому функцию Хевасайда тоже можно исключить.

-- Вс фев 28, 2016 15:30:51 --

Aritaborian в сообщении #1102709 писал(а):

(Аллюзии и реминисценции)

Перечитав топик, вдруг понял, что же это мне напоминает.
Ситуацию, когда известный герой из последних сил восклицает: «Это не мой Чёрный Ящик! Мой Чёрный Ящик это не ящик, точнее, не совсем ящик.» Но над ним неотвратимо нависает Большая Круглая Печать.

Для любой темы всегда найдется пользователь, который обязательно её зафлудит и заоффопит.

[Dan B-Yallay]

Александрович в сообщении #1102720 писал(а):

Поскольку процесс интегрирования наблюдался в ограниченном интервале времени бесконечные пределы интегрирования стоит заменить на конечные.

Свёртка

[profrotter]

Александрович в сообщении #1102720 писал(а):

Поскольку процесс интегрирования наблюдался в ограниченном интервале времени бесконечные пределы интегрирования стоит заменить на конечные. Во время процесса интегрирования никто не вмешивался с включением-выключение поэтому функцию Хевасайда тоже можно исключить.

Неверно. Никакого процесса интегрирования не наблюдается при воздействии сигнала на какую-либо линейную цепь. Наблюдается преобразование сигнала линейной цепью и всё тут. Даже если вы наблюдали это преобразование ограниченное время, это не означает, что пределы интегрирования должны быть заменены на конечные. Функция Хевисайда в выражении для импульсной характеристики присутствует не потому, что имело место включение/выключение, а потому что импульсная характеристика любой физически-осуществимой линейной цепи не может отличаться от нуля при отрицательных $t$ в соответствии с принципом причинности. Любой учебник по электротехнике вам в помощь.

Желаемые вами рассуждения должны быть иными. Надо подставить в интеграл выражение для импульсной характеристики и заметить, что подынтегральное выражение обнуляется при $t'>t$ поэтому верхний предел в интеграле можно заменить на $t$, функцию Хевисайда убрать, поскольку в новых пределах интегрирования она равна 1:

$$U(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t')h(t-t')dt'=\int\limits_{-\infty}^{\infty}u(t')\sigma(t-t') e^{-\frac{t-t'}{\tau}}dt'=\int\limits_{-\infty}^{t}u(t')e^{-\frac{t-t'}{\tau}}dt'.$$

Нижний предел интегрирования можно сделать конечным, только есть известно, что сигнал на входе включается, начиная с какого либо момента времени, скажем $t=t_0$, тогда

$$U(t)=\sigma(t-t_0)\int\limits_{t_0}^{t}u(t')e^{-\frac{t-t'}{\tau}}dt'.$$