График функции и целочисленные координаты

[dchnick]

Извиняюсь за то, что мои задачи не столь интересны, как могли бы быть.

Принадлежат ли графику функции $y = x\sqrt{3}+\sqrt{2}$ точки с целочисленными координатами?
возведем обе части этого добра в квадрат:
$y^2=3x^2+2+2x\sqrt{6}=3x^2+2+\sqrt{24x^2}$
$x,y$ должны быть целые, поэтому $\sqrt{24x^2}$ тоже должно быть целым числом.
То есть, чтобы $24x^2$ был полным квадратом. Если это число --- полный квадрат, то $24x^2=n^2,24=\frac{n^2}{x^2}=\left(\frac{n}{x} \right)^2$ То есть $\left(\frac{n}{x} \right)=\sqrt{24}$, таким образом, $\sqrt{24}$ должен быть рациональным числом. Но как известно, $\sqrt{n}$ для $n$-неполных квадратов, рациональным числом не является. То есть ответ --- нет. (часть доказателства с $24x^2$ можно было "провернуть" по-другому: $24x^2=2^3 \cdot 3x^2$ В квадрате степень двойки обязана быть четной, чему, очевидно $2^3 \cdot 3x^2$ не удовлетворяет.

Укажите, пожалуйста, на ошибки, если они есть.
Заранее спасибо.

[Aritaborian]

Это, конечно, можно почистить, но принципиально верно.
[Апдейты убрал. Они сути не прибавляли.]

[svv]

dchnick в сообщении #1102697 писал(а):

возведем обе части этого добра в квадрат:
$y^2=3x^2+2+2x\sqrt{6}$

Стоп. И дальше: при целых $x\neq 0, y$ число $\sqrt{6}=\frac{y^2-3x^2-2}{2x}$ было бы рациональным. А при $x=0$ будет $y=\sqrt{2}$.

[dchnick]

Собственно, я нашел выход. Можно воспользоваться утверждением (Алфутова Н. Б. Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ.— М.: МЦНМО, 2002.— 264 с., решение задачи 5.025)., а именно, что если $b_1,\dots,b_n$ --- ненулевые целые числа, а $a_1, a_2,\dots,a_n$ --- натуральные числа, свободные от квадратов, то:
$b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+...+b_n\sqrt{a_n} \ne 0$
Принимая $n=3, a_1=1, b_2=x,a_2=3,b_3=1,a_3=2$, получим, что
$x\sqrt{3}+\sqrt{2} \ne -b_1$, то есть $y \notin \mathbb{Z}$
Доказательство я нашел: http://kvant.mccme.ru/1972/02/p26.htm

Всем большое спасибо за помощь!

[svv]

dchnick в сообщении #1102753 писал(а):

если $b_1,\dots,b_n$ --- ненулевые целые числа, а $a_1, a_2,\dots,a_n$ --- натуральные числа, свободные от квадратов, то:
$b_1\sqrt{a_1}+b_2\sqrt{a_2}+...+b_n\sqrt{a_n} \ne 0$

И потребуем, чтобы все $a_i$ были различны, чтобы такое не прокатывало:
$2\sqrt{3}+5\sqrt{3}-7\sqrt{3}=0$