Ещё о размерностях физических величин

[Munin]

arseniiv в сообщении #1102081 писал(а):

Боюсь, не очень понятно описал, что интересует — вопросы для уточнений принимаются.

Да, вот озвучьте ещё раз, пожалуйста. С учётом того, что прозвучало. А то, мне кажется, тема грозит выродиться в "трёп на темы размерностей вообще".

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

И шо в этом таки плохого? Обычно так и есть. $(\cos\omega t)'$ имеет размерность частоты.

Но тут-то у нас производная явно не одинокого косинуса, а его композиции с умножением на $\omega$ — тут это воспринимается как должное.

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

Правда, всё равно все привыкли считать за единицу именно радиан. Но мне кажется, это пережиток. Да здравствует наиболее фундаментальная система единиц $2\pi=1$!

Математически это только рождает неудобства. Сравните с тем, что математически $c = 1$ или $\hbar = 1$ неудобства снимает.

Munin в сообщении #1102356 писал(а):

Да, вот озвучьте ещё раз, пожалуйста. С учётом того, что прозвучало. А то, мне кажется, тема грозит выродиться в "трёп на темы размерностей вообще".

Вы первым постом сняли практически всю неопределённость. Меня только осталось интересовать, правильно ли показалось, что

arseniiv в сообщении #1102199 писал(а):

Кажется, не обязательно $[\mu_0]$ (или $[\varepsilon_0]$, обратная ей) единична.

(и, таким образом, две в электродинамике размерности или всё же три), но и то не особо.

[Munin]

Mihr в сообщении #1102355 писал(а):

Я бы предпочёл, чтобы радиан оставался именно таким, каков он есть теперь. В противном случае пришлось бы радиус окружности измерять в одних единицах длины, а длину окружности - в других единицах. Мне от этого как-то неуютно... :-(

Почему? Кто заставляет? Просто вместо формулы $l=r\alpha$ вы будете иметь формулу $l=kr\alpha.$ Для градусной меры угла - вы и так её уже имеете, с $k=\dfrac{\pi}{180^\circ}.$

Mihr в сообщении #1102355 писал(а):

Понятно, что изменением масштаба можно добиться изгнания безразмерных коэффициентов из некоторых уравнений, но взамен они появятся в других уравнениях. Так что польза от изменения масштаба довольно призрачна.

Первое - понятно и верно.
Второе - нет. Польза есть. Всё дело в том, которыми уравнениями мы чаще пользуемся. Например, физики-экспериментаторы и инженеры могут чаще пользоваться законом Кулона. Физики-теоретики - законом Гаусса. Струнные теоретики - лагранжианом в $D$ измерениях.

-- 26.02.2016 23:29:23 --

arseniiv в сообщении #1102370 писал(а):

Математически это только рождает неудобства.

По-моему, наоборот. Легко заметить, что вообще все числа оказываются равны $1$ (кроме $0$). Это заметно облегчает все расчёты.

arseniiv в сообщении #1102370 писал(а):

(и, таким образом, две в электродинамике размерности или всё же три)

Поясните, какие две и какие три (в вашей версии)?

[Mihr]

Munin в сообщении #1102418 писал(а):

Польза есть. Всё дело в том, которыми уравнениями мы чаще пользуемся. Например, физики-экспериментаторы и инженеры могут чаще пользоваться законом Кулона. Физики-теоретики - законом Гаусса. Струнные теоретики - лагранжианом в $D$ измерениях.

Ну, есть ведь приверженцы СИ и СГС. И в этих системах единиц уравнения электродинамики записываются несколько по-разному. Предлагаете ещё ввести в рамках каждой из этих систем уравнения для экспериментаторов и уравнения для теоретиков того или иного склада? По-моему, это излишне

Munin в сообщении #1102418 писал(а):

Почему? Кто заставляет? Просто вместо формулы $l=r\alpha$ вы будете иметь формулу $l=kr\alpha.$

А зачем лишние коэффициенты? Не лучше ли не трогать радианы?

Munin в сообщении #1102418 писал(а):

Для градусной меры угла - вы и так её уже имеете, с $k=\dfrac{\pi}{180^\circ}.$

И это одна из причин, по которым радианы предпочтительнее градусов.

Munin в сообщении #1102418 писал(а):

Легко заметить, что вообще все числа оказываются равны $1$ (кроме $0$).

Почему кроме $0$?
Вычтем из равенства $2\pi=1$ равенство $2\pi-1=1$ и получим $1=0$.

[Munin]

Mihr в сообщении #1102434 писал(а):

Ну, есть ведь приверженцы СИ и СГС. И в этих системах единиц уравнения электродинамики записываются несколько по-разному. Предлагаете ещё ввести в рамках каждой из этих систем уравнения для экспериментаторов и уравнения для теоретиков того или иного склада? По-моему, это излишне :-)

Зачем?

И так: СИ - это система для техников. СГС - система для физиков-экспериментаторов и начинающих теоретиков. СГС Хэвисайда - система для продвинутых теоретиков. (Для которых о $\hbar,c,k_B=1$ можно даже не упоминать.)

Mihr в сообщении #1102434 писал(а):

Вычтем из равенства $2\pi=1$ равенство $2\pi-1=1$

В физике можно умножать и делить, но нельзя складывать и вычитать: теряется точность.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102418 писал(а):

Поясните, какие две и какие три (в вашей версии)?

Ну как же, интервал, масса и заряд или любые их независимые комбинации, и, в случае двух, интервал и масса. Три будет, когда $\mu_0$ размерна. Не нашёл в тот раз причин для её безразмерности.

[Mihr]

Munin в сообщении #1102335 писал(а):

Например, $K+\Pi=\mathrm{const},$ где $K$ и $\Pi$ - кинетическая и потенциальная энергии. Или, $E_2-E_1=A$ - работа.

Munin в сообщении #1102436 писал(а):

В физике можно умножать и делить, но нельзя складывать и вычитать

Гм...

[Munin]

Mihr
Мне кажется, вы как-то не уловили, какие из частей моих сообщений - со смайликами, а какие без.

Моя часть вины - в том, что смайлики я использовал виртуальные. Но вполне выше порога рождения, уверяю вас!

Поэтому прошу, перечитайте последние мои сообщения, обращая внимание на их деление на низкоэнергетическую и высокоэнергетическую части.

-- 27.02.2016 09:50:37 --

arseniiv в сообщении #1102454 писал(а):

Ну как же, интервал, масса и заряд или любые их независимые комбинации, и, в случае двух, интервал и масса.

По-моему, вы совершенно точно описали СИ и СГС (обе в регистре $c=1$).

Используется, разумеется, и то и другое. Но вот например, СИ теоретики настолько не любят, что я даже не знаю, где вообще надо расставлять $\mu_0$ по формулам типа лагранжиана. (Забавно, что англоязычная Wikipedia написана аккуратно в СИ. То есть, с одной стороны, её можно использовать для справок в этом вопросе - и с другой, она не помогает с правильной расстановкой $4\pi,$ если я вдруг хочу СГС-ничать.)

-- 27.02.2016 10:06:54 --

Дописал в первое сообщение кусочек:

(Добавлю, что

Цитата:

В первом случае кулоновский потенциал между двумя электронами имеет вид $e^2/r,$ во втором $e^2/4\pi r.$

- первый случай называется системой единиц Гаусса, а второй - Лоренца-Хевисайда (тж. просто Хевисайда и просто Лоренца).)

При этом, уравнение Гаусса, напротив, меняется от вида $\operatorname{div}\mathbf{E}=4\pi\,\rho$ к виду $\operatorname{div}\mathbf{E}=\rho.$

Замечу, что:
СГС в наиболее общепринятой форме - является системой Гаусса, а СИ - как ни парадоксально, Хэвисайда. Система Хэвисайда предпочтительней, когда мы не знаем точно размерности пространства-времени (то есть, в продвинутой теорфизике). Примеры: Ландау-Лифшиц написан в системе Гаусса, а Рубаков - в системе Хэвисайда.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102483 писал(а):

По-моему, вы совершенно точно описали СИ и СГС (обе в регистре $c=1$).

Я тоже подозревал, что переоткрыл СГС, когда получил степени $1/2$.

Остаток темы можно посвятить выдумыванию наиболее неестественных комбинаций интервала, массы и заряда/$\mu_0$/$\varepsilon_0$, являющихся базисом (для размерностей в случае классической электродинамики).

[svv]

В СИ нет сил смотреть на «фундаментальные константы» вроде $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\;\text{Гн/м}$ или волновое сопротивление вакуума $Z_0=120\pi\;\text{Ом}$. А сами единицы физических величин — ничего так, удобные.

Но в СГС нет сил смотреть на размерности вроде $\text{г}^{1/2}\text{см}^{3/2}\text{с}^{-1}$. Зато уравнения выглядят красиво.

Думаю, надо было в СГС ввести для, скажем, электрического заряда единицу, которая формально была бы производной (её можно выразить через единицы длины, времени, массы), но играла бы роль основной при построении остальных единиц в области электромагнетизма (как ампер в СИ).

[Munin]

svv в сообщении #1102583 писал(а):

Но в СГС нет сил смотреть на размерности вроде $\text{г}^{1/2}\text{см}^{3/2}\text{с}^{-1}$.

Да ладно вам! Ваша нелюбовь к дробям - это просто предрассудок!

Вообще, можно вспомнить, что фундаментальна амплитуда вероятности, а не вероятность, и считать, что на самом деле мы принимаем за базовые размерности квадраты каких-то "более фундаментальных" размерностей.

Другой намёк на то же самое. Мы знаем, что трёхмерный вектор можно собрать из второй тензорной степени трёхмерного же спинора (спинора Паули). Однако именно вектору мы приписываем размерность длины в первой степени. Может быть, надо поделить её пополам, и считать базовой размерность спинора?

tags: philosophy sarcasm

svv в сообщении #1102583 писал(а):

Думаю, надо было в СГС ввести для, скажем, электрического заряда единицу, которая формально была бы производной (её можно выразить через единицы длины, времени, массы), но играла бы роль основной при построении остальных единиц в области электромагнетизма (как ампер в СИ).

Так и сделано в старой-доброй СГСЭ. (СИ в этом смысле похожа на СГСМ - там тоже опираются на единицу не заряда, но тока.)

arseniiv в сообщении #1102575 писал(а):

Остаток темы можно посвятить выдумыванию наиболее неестественных комбинаций интервала, массы и заряда/$\mu_0$/$\varepsilon_0$, являющихся базисом (для размерностей в случае классической электродинамики).

Меня в этом плане забавляет вот эта вот статейка:
Голицын Г. С. Наглядность для ряда задач выбора энергии в качестве единицы измерения вместо массы. УФН 178 (7) 753–755 (2008).
http://ufn.ru/ru/articles/2008/7/e/

Там вместо $[E]=\mathrm{ML^2T^{-2}}$ предлагается взять базовые единицы $\mathrm{TEL},$ и выразить $[m]=\mathrm{T^2EL^{-2}}.$ При этом, например, размерность постоянной Планка будет $[\hbar]=\mathrm{ET}.$

Впрочем, разница между двумя системами остаётся только в классической физике, а в релятивистской, как мы знаем, $c=1,$ и $[E]=[m].$

Однако, техников-то на свете гораздо больше, чем физиков...

tags: slightly-kidding

[arseniiv]

Munin в сообщении #1102616 писал(а):

Однако именно вектору мы приписываем размерность длины в первой степени. Может быть, надо поделить её пополам, и считать базовой размерность спинора?

Вот я думаю, что это даже не вопрос — разумеется, надо. И совсем без сарказма.

[Munin]

Тогда пишите методическую статью в УФН!

(И тоже совсем без сарказма... почти...)

[svv]

А насчёт высосанных из пальца констант в СИ согласны?

Munin в сообщении #1102616 писал(а):

Другой намёк на то же самое.

Понял.

[Munin]

svv
Вы меня спрашиваете? Так я же первый про них тут в этой теме и упомянул! (Если не считать Льва Борисовича Окуня.)

-- 27.02.2016 23:53:33 --

(О, чёрт! Окунь-то помер в прошлом году! А я-то хотел сострить, что методическая заметка в УФН найдёт в его лице союзника...)