Шары и ящики

[Omega]

Доброго времени суток уважаемые форумчане.
Помогите пожалуйста разобраться, вот есть следующая задача.

Есть 9 ящиков с вместимостью 4 шара. У нас есть $14$ шаров. Шарики вытаскиваются и раскладываются по ящикам. Нужно найти вероятность того, что заняты оказались ровно $5$ ящиков.

Ну вот я думаю ,выбираем мы сначала 5 ящиков из 9 - это $C_{9}^{5}$; всего вариантов $C_{36}^{14}$ .
Итоговая вероятность

$$P=\dfrac{C_{9}^{5}}{C_{36}^{14}} \cdot ?$$

Не могу догадаться как посчитать остальную часть этой вероятности. Надо как-то так разложить эти 14 шаров по 5 ящикам, чтобы выполнить условия задачи и посчитать отношение нужных исходов ко всем ($C_{20}^{14}$???)

Всем заранее спасибо.

[TOTAL]

Omega в сообщении #1101955 писал(а):

Есть 9 ящиков с вместимостью 4 шара. У нас есть $14$ шаров. Шарики вытаскиваются и раскладываются по ящикам. Нужно найти вероятность того, что заняты оказались ровно $5$ ящиков.

В первые семь ящиков положим по два шара. Так что искомая вероятность равна нулю.

[Omega]

Переформулирую - шарики скатываются, например, из лототрона и случайно попадают в ящики.

[TOTAL]

Давайте сначала попроще. Пусть ящиков $3$, шариков $3$, вместимость ящика $2$. Найти вероятность того, что заняты ровно $2$ ящика. Какой ответ?

[Omega]

$C_{3}^{2}C_{4}^{3}/C_{6}^{3}$

[TOTAL]

Omega в сообщении #1101969 писал(а):

$C_{3}^{2}C_{4}^{3}/C_{6}^{3}$

Ответ в виде числа дайте.

[Omega]

TOTAL, да пожалуйста - 60%

[TOTAL]

Omega в сообщении #1101976 писал(а):

TOTAL, да пожалуйста - 60%

Значит, вероятность того, что заняты будут все ящики, равна $0.4$. Но эта вероятность равна $2/9.$ Как это так?

[DeBill]

TOTAL в сообщении #1101978 писал(а):

Но эта вероятность равна $2/9.$ Как это так?

Не, правильно, вероятность, что все заняты, тут как раз 0.4.
Просто модельный пример не очень удачный - не отражает проблему, которая имеет место быть в исходной задаче.

-- 25.02.2016, 13:52 --

Omega
Вы так лихо начали, и вероятностное пространство выбрали хорошо - так в чем проблемы?
Почему Вам не нравится Ваше $C^{14}_{24}$ ??
Может, Вы заметили, что соответствующие события могут попарно пересекаться?
Да? Но - на этот случай есть формула включений-исключений (а в теории вер-тей ее называют ф-лой для вероятности суммы (возможно - совместных) событий). Примените ее - и будет Вам счасте...

[TOTAL]

Чтобы все были заняты, первый шар кладем куда угодно, второй в свободную с вероятностью $2/3$, последний в свободную с вероятностью $1/3$. Итого $2/9$.

Чтобы ровно две были заняты, первый шар кладем куда угодно, второй либо туда же с вероятностью $1/3$, последний в свободную с вероятностью $1$, либо и т.д. Всего $1/3 + 2/3*2/3=7/9$

[DeBill]

Omega
Виноват, погорячился - так мы найдем вер-ть того, что заняты НЕ БОЛЕЕ 5 ящиков. Конечно, можно потом сосчитать вер-ть, что заняты НЕ БОЛЕЕ 4-х, и вычесть. Но проще, видимо, считать в духе Вашей изначальной попытки, только теперь это уже не будет $C^{14}_{24}$- его надо уменьшить на кол-во случаев, когда заняты только 4 ящика (а это число уже считается по Вашим формулам; хорошо хоть, что в три ящика 14 шаров не запихиваются...)

-- 25.02.2016, 14:26 --

TOTAL
Вся проблема - в том, какую модель этого эксперимента мы рассматриваем.
Фактически, из начальной постановки задачи не видно, как ее строить.
Навскидку, можно предложить модели:
а) Случайно выбирается ящик, в котором еще есть место, и туда кладется шарик
(и Ваш расчет соответствует этой модели)
б) Из всех свободных мест выбирается одно, и туда кладут шарик. (и попытки Omega более отвечают этой модели).

Это - разные модели. Дополнительные пояснения

Omega в сообщении #1101964 писал(а):

Переформулирую - шарики скатываются, например, из лототрона и случайно попадают в ящики.

таки не проясняют ситуацию однозначно, хотя, мне кажется, модель б) более соответствует им....
Так что мы все трое правы....

[Omega]

Не понял ничего.
Я вот, что думаю, а если решать так - всего мы имеем пять комбинаций как располагаются шары в пяти корзинах:

• 4-4-4-1-1
• 4-4-3-2-1
• 4-3-3-3-1
• 4-3-3-2-2
• 3-3-3-3-2

Эти пять корзин могут располагаться как хотите - то есть для каждого из этих пяти вариантов по факту существует 5! комбинаций.
Теперь например для "4-4-4-1-1" имеем количество вариантов: $N_{1}=5! \cdot \left (C_{5}^{1} \cdot C_{14}^{4}+C_{4}^{1} \cdot C_{10}^{4} + C_{3}^{1} \cdot C_{6}^{4}+C_{2}^{1} \cdot C_{2}^{1}+C_{1}^{1} \cdot C_{1}^{1} \right)$

Всё пересчитаем сложим и поделим на $C_{36}^{14}$, не забыв умножить на $C_{9}^{5}$ . Ответ получился такой: $0.1022710656$

Что не правильно?

[provincialka]

Omega
В задачах теории вероятностей очень важно описать "природу случайности". Вот вы говорите:

Omega в сообщении #1101964 писал(а):

Переформулирую - шарики скатываются, например, из лототрона и случайно попадают в ящики.

Omega в сообщении #1101955 писал(а):

Есть 9 ящиков с вместимостью 4 шара.

Как согласовать одно с другим? Что делать, если шарик летит в ящик, в котором уже есть 4 шарика?

Организовать "случайное заполнение" ящиков, если они имеют ограничения на вместимость... Сложно. Непонятно, какие события у вас равновероятны.

[Omega]

provincialka, я полагаю, не суть важно какова природа этого "случайного" процесса. Будем считать равновероятным выбор корзины и попадания одного шара в любую из них. Уж не знаю как ещё можно всё уточнить. По-моему задача вполне понятная. А вот как ответ получить пока не выяснено...

[DeBill]

Omega в сообщении #1102004 писал(а):

Что не правильно?

Ну да, такой вариант счета я тоже хотел Вам предложить - но посчитал длинным.
А не правильно - вот что:

для, например, "4-3-3-2-2" кол-во вариантов будет $\frac{5!}{1!\cdot 2!\cdot 2!}\cdot (C^4_4)^1 \cdot (C^3_4)^2 \cdot (C^2_4)^2$....