Квантовый мир и гильбертовы пространства

[zer0]

При описании поведения квантовой частицы в одномерной потенциальной яме используется волновая функция $\Psi(x)$ (1) из гильбертова пространства $\mathcal H^1$ Для описания поведения трех частиц используется функция $\Psi(x_1,x_2,x_3)$ (2), а для описания одной частицы в 3-мерной яме используется функция $\Psi(\vec r)=\Psi(x,y,z)=\Psi(x_1,x_2,x_3)$ (3). В принципе, в (2) и в (3) - функции от трех переменных, а само гильбертово пространство $\mathcal H^3=\mathcal H^1\otimes\mathcal H^1\otimes\mathcal H^1$ - тензорное произведение одномерных пространств. Для описания 3-мерного поведения $n$ частиц нужно $\mathcal H^{3n}$. Например, для описания 2 частиц нужно $\mathcal H^6$, а для описания трех уже нужно $\mathcal H^9$. И если для одной частицы как-то можно представить пси-функцию не как математическую абстракцию, а как нечто физическое "в этом месте", то для $n>1$ это проблема. Далее, если 2 частицы рядом, а третья далеко (и нам не мешает), то каким образом $\mathcal H^9$ редуцируется в $\mathcal H^6$ ? А ведь далеко-далеко есть 4,5,$n$-я частицы и тогда для полного описания нужно $\mathcal H^{3n}$... Какое из гильбертовых пространств "правильное"? Или никакое, все они "проекции" неизвестного? правильного описания... Давно читал книгу Эмха про $C^*$-алгебры, где гильбертовы пространства служили для представления алгебр. Но потом это направление то ли заглохло, то ли стало неактуальным.

Для двух "наших" близких частиц и "чужой" далекой сделаем так: разложим $\mathcal H^9=\mathcal H^6\otimes\mathcal H^3$ и, пока чужая частица далеко, будем считать, что $\Psi(r_1,r_2,r_3)=\Psi(r_1,r_2)\cdot\Psi(r_3)$, при приближении третьей перейдем к $\Psi(r_1,r_2_,r_3)$, а когда "чужая частица удалится, снова вернемся к $\Psi'(r_1,r_2,r_3)=\Psi'(r_1,r_2)\cdot\Psi'(r_3)$. Увы, простое произведение двух функции после разлета, вообще говоря, не получится и для описания подсистем (нашей и чужой) надо будет использовать матрицу плотности. Чужая частица улетела, но ее пагубное влияние на чистое состояния нашей пары осталось (и наоборот - теперь состояние улетевшей частицы не может описываться чистой пси-функцией $\Psi'(r_3)$ т.е. вектором в $\mathcal H^3$). Имхо, именно поэтому разговоры про кота Шредингера и смешанное состояние живой-мертвый беспочвенны. Кот излучил такую уйму фотонов ("чужих" далеких частиц), что его собственные состояния не могут интерферировать между собой и состояние кота должно описываться матрицей плотности.

Интуитивно кажется, что частица не знает, в каком гильбертовом пространстве находится ее состояние и какой пси-функцией / матрицей оно описывается. Но каким математическим аппаратом это адекватно выразить? Диаграммами Фейнмана (там расходимости) или интегралами по траекториям (увы, мне не вполне ясно, что это такое с формализованной точки зрения, когда есть взаимодействие)? Может диаграммы - не просто картинки для расчетов, а какое-то отражение реального поведения? Частица как бы "прощупывает" окружение и формируется ее новое "состояние"? И потом это "состояние" находит отражение в пси-функциях (матрицах) тех подсистем, куда входит (входила) частица. Возможно, для кого-то [почти] все вышесказанное звучит, как бред, но все же...

[Munin]

zer0 в сообщении #1101475 писал(а):

И если для одной частицы как-то можно представить пси-функцию не как математическую абстракцию, а как нечто физическое "в этом месте", то для n>1 это проблема. Далее, если 2 частицы рядом, а третья далеко (и нам не мешает), то каким образом $\mathcal H^9$ редуцируется в $\mathcal H^6$ ?

Рассмотрите упрощённый пример. Пусть у вас 3 частицы, но 1-мерное физическое пространство. То есть, вы имеете $\mathcal{H}^3\to\mathcal{H}^2.$ Это ещё можно вообразить обычным пространственным воображением.

2 частицы рядом - это значит, волновая функция сосредоточена около диагонали $x_1=x_2.$ Третья далеко - значит, волновая функция находится вдали от диагонали $x_1=x_2=x_3$ (тут надо вспомнить, что первая диагональ - плоскость в 3-мерном пространстве, а вторая - линия). Кроме того, мы подразумеваем, что "далеко" означает исчезновение взаимодействия, то есть $U(x_1,x_2,x_3)\to 0$ вдали от диагоналей (особенно от диагональных плоскостей).

Дальше, мы можем постулировать, что частицы (пара 1, 2 и частица 3) не запутаны между собой, то есть - волновая функция, сосредоточенная в указанном месте, раскладывается в произведение двух сомножителей: один на плоскости $(x_1,x_2),$ а другой - на оси $(x_3).$ Вот и получается редукция.

А если частицы запутаны - то не обессудьте... не получается.

Дальше вы пишете всё то же самое, но без наглядности, чисто "математически-абстрактно".

zer0 в сообщении #1101475 писал(а):

Имхо, именно поэтому разговоры про кота Шредингера и смешанное состояние живой-мертвый беспочвенны. Кот излучил такую уйму фотонов ("чужих" далеких частиц), что его собственные состояния не могут интерферировать между собой и состояние кота должно описываться матрицей плотности.

Да, в общем-то, но это ещё не ответ на вопрос. Матрица плотности не запрещает коту быть одновременно в состояниях "жив" и "мёртв", даже если они не интерферируют. Но в реальности мы такого не наблюдаем.

zer0 в сообщении #1101475 писал(а):

Интуитивно кажется, что частица не знает, в каком гильбертовом пространстве находится ее состояние и какой пси-функцией / матрицей оно описывается. Но каким математическим аппаратом это адекватно выразить?

Думаю, если вы изобретёте такой матаппарат, то совершите прорыв в квантовой механике, уровня Гейзенберга-Шрёдингера-Борна-Йордана-Дирака.

zer0 в сообщении #1101475 писал(а):

Может диаграммы - не просто картинки для расчетов, а какое-то отражение реального поведения?

Имхо:
Очевидно, да. Вообще, в физике практически не бывает чего-то "для расчётов", не отражающее "реального поведения". Это не два противоположных состояния, а практически всегда совместно возникающие состояния.

[zer0]

Munin в сообщении #1101503 писал(а):

Матрица плотности не запрещает коту быть одновременно в состояниях "жив" и "мёртв", даже если они не интерферируют. Но в реальности мы такого не наблюдаем.

И не наблюдем (мое имхо, как и дальше) . Чтобы в эксперименте смешались состояния котов "жив-мертв" надо, чтобы смешались и состояния "улетевших фотонов", а это невозможно (мы же их не поймали в ловушку). Аналогично, после взаимодействия микрообъекта с прибором состояния микрообъекта не смешиваются между собой, поскольку они связаны с состяниями прибора. Для микрообъекта получается матрица плотности или "редукция состояний" . В каком-то смысле матрица плотности похожа на классику - вариантов много и [пока ] не знаем, какой получился, но варианты не интерферируют. А когда узнаем - получим "редукцию".

Однако, если микрообъект взаимодействует с прибором так, что состояния прибора после взаимодействия сильно интерферируют, то и после взаимодействия состояния микрообъекта тоже могут смешиваться(но такое взаимодействие вряд ли можно считать "измерением"). Пример - отражение фотона от зеркальной поверхности в экспериментах по расщеплению/сведению фотонов по разным путям. Мы не знаем и не узнаем, от какого конкретно атома/электрона отразился фотон. А если узнаем, фотон (а точнее фотон+зеркало) перестанет интерферировать с собой.

[Munin]

zer0 в сообщении #1101508 писал(а):

Чтобы в эксперименте смешались состояния котов "жив-мертв" надо, чтобы смешались и состояния "улетевших фотонов"

А если подумать?

[zer0]

Munin в сообщении #1101503 писал(а):

Очевидно, да. Вообще, в физике практически не бывает чего-то "для расчётов", не отражающее "реального поведения". Это не два противоположных состояния, а практически всегда совместно возникающие состояния.

Согласен, если это функциональный/комплексный анализ, топология, теория групп и алгебраических структур (кольца, поля, линейные пространства) и прочая интуитивно воспринимаемая физиками математика. Но когда к физике прикручивают алгебраическую геометрию, моя интуиция, увы, говорит "я пас". Неужели природа таки использует ее или что-то из теории чисел, например (и физикам надо владеть аппаратом уровня доказательства теоремы Ферма)? Или природа на 20 (200) порядков сложнее наших сегодняшних знаний и тогда в этих рассуждениях никого смысла нет...

-- 23.02.2016, 18:04 --

Munin в сообщении #1101509 писал(а):

А если подумать?

Да думал, причем не один год. Фотоны - штука хитрая и неисчерпаемая (и вопрос "что же такое фотон" для меня открыт). Если бы от котов "отлетали" обычные частицы, то вопросов вообще бы не было. А так приходится опираться на интуицию, которая говорит "для интерференции части системы нужна интерференция в другой части". Получается живой кот+его фотоны и мертвый кот+его фотоны (а также плюс то, с чем эти фотоны провзаимодействовали).

[Aritaborian]

zer0 в сообщении #1101511 писал(а):

и вопрос "что же такое фотон" для меня открыт

Квант электромагнитного поля. Вопрос закрыт, ура. Не благодарите.

[zer0]

Aritaborian в сообщении #1101516 писал(а):

zer0 в сообщении #1101511 писал(а):

и вопрос "что же такое фотон" для меня открыт

Квант электромагнитного поля. Вопрос закрыт, ура. Не благодарите.

Давайте не будем считать друг друга тупыми/неграмотными и не будем засорять эту тему такими "ответами".

[arseniiv]

zer0 в сообщении #1101475 писал(а):

Интуитивно кажется, что частица не знает, в каком гильбертовом пространстве находится ее состояние и какой пси-функцией / матрицей оно описывается. Но каким математическим аппаратом это адекватно выразить?

Munin в сообщении #1101503 писал(а):

Думаю, если вы изобретёте такой матаппарат, то совершите прорыв в квантовой механике, уровня Гейзенберга-Шрёдингера-Борна-Йордана-Дирака.

Стоп-стоп, а как же упомянутые $C^*$-алгебры? И как же изоморфность всех гильбертовых пространств одной и той же размерности? (Бесконечные сепарабельные — одной, счётной.)

-- Вт фев 23, 2016 18:03:33 --

zer0 в сообщении #1101522 писал(а):

Давайте не будем считать друг друга тупыми/неграмотными и не будем засорять эту тему такими "ответами".

Но нельзя не признать, что это является строгим определением термина «фотон» (если, конечно, математическая строгость наведена).

[zer0]

arseniiv в сообщении #1101528 писал(а):

Но нельзя не признать, что это является строгим определением термина «фотон» (если, конечно, математическая строгость наведена).

Два путешественника на воздушном шаре летали над полем и увидели человека. "Где мы находимся?" успели они крикнуть, прежде чем воздушный поток унес их ввысь. "Вы в корзине воздушного шара!" - услышали они напоследок. "Этот человек - математик" сказал один. "Почему ты так думаешь?" спросил другой.
"Потому, что ответ абсолютно точный. И для нас бесполезный".

То, что фотон - квант электромагнитного поля достаточно для сдачи ЕГЭ-подобного экзамена, но очень мало для понимания. Если непонятно - дополню: я не писал, что не знаю ни одного формального определения термина "фотон". Надеюсь, на этом закроем это отступление.

[Munin]

zer0 в сообщении #1101511 писал(а):

Но когда к физике прикручивают алгебраическую геометрию, моя интуиция, увы, говорит "я пас". :-(

А где, собственно, это происходит? Не надо таких ужасов.

zer0 в сообщении #1101511 писал(а):

А так приходится опираться на интуицию, которая говорит "для интерференции части системы нужна интерференция в другой части".

Ну вот это непродуманная интуиция.

zer0 в сообщении #1101535 писал(а):

То, что фотон - квант электромагнитного поля достаточно для сдачи ЕГЭ-подобного экзамена, но очень мало для понимания.

На самом деле, нет. Этого полностью достаточно для понимания, но на ЕГЭ-подобном экзамене будет звучать просто неуместно.

Идея такая.
1. Сначала вы изучаете квантовую механику. Изучаете, что такое процедура квантования.
2. Потом вы изучаете электромагнитное поле. Его нужно изучить на уровне формализмов Лагранжа и Гамильтона.
3. Потом вы применяете процедуру квантования к электромагнитному полю. И у вас получаются квантованные уровни. Они и есть фотоны.

Вся эта процедура требует знания примерно четырёх-пяти курсов вуза.

[zer0]

Я закончил физфак по специальности теоретическая физика (давно, правда). Тогда мне казалось, что понимание математического формализма и есть физика. Теперь так не кажется.

Munin в сообщении #1101560 писал(а):

А где, собственно, это происходит? Не надо таких ужасов.

В статье Манина Ю.И. по инстантонам встретилось. Манин - он о-го-го как крут. Как сказал шеф: "Манин - это человек, который на 2 порядка умнее, чем ты можешь представить". Арнольд В.И. очень нравился, Дж.Нейман (и Р. Фейнман, конечно). А от ЛЛ оставалось чувство неудовлетворенности.

Munin в сообщении #1101560 писал(а):

Ну вот это непродуманная интуиция.

Считаете, что живой кот может интерферировать с мертвым или вкладываете другой смысл? Можно пример для наглядности.

-- 24.02.2016, 01:14 --

arseniiv в сообщении #1101528 писал(а):

Стоп-стоп, а как же упомянутые $C^*$-алгебры? И как же изоморфность всех гильбертовых пространств одной и той же размерности? (Бесконечные сепарабельные — одной, счётной.)

Сразу навскидку точно не скажу, но мне помнится, что при изменении физической системы может происходить изменение представления $C^*$-алгебры (неизоморфное). При фазовом переходе, в частности.

[arseniiv]

(Ну, тут я не в курсе.)

[Munin]

zer0 в сообщении #1101581 писал(а):

Я закончил физфак по специальности теоретическая физика (давно, правда). Тогда мне казалось, что понимание математического формализма и есть физика. Теперь так не кажется.

На это явление есть два взгляда: одни считают это мудростью, другие старческим маразмом :-)
Я принадлежу ко второму лагерю (пока :-)

Я считаю, что понимание математического формализма и есть физика - если понимать, что понимание - это не просто владение, так чтобы сдать экзамен. Например, у Фейнмана - было понимание. Он понял, что уравнение Шрёдингера можно "вывернуть наизнанку" в форме интеграла по путям, и дальше этот формализм использовал.

Дело в том, что если на какой-то вопрос есть математический ответ - то значит, более глубокого физического просто нет. В принципе нет. Дальше мы можем спросить только "а почему эта математика применима в этом случае", но это совсем другой вопрос.

И бывает, что на какой-то вопрос математического ответа нет - но это значит, что и физического нет. Просто текущие знания останавливаются на этом рубеже, дальше неизведанное.

А ситуации, когда математического ответа нет, а физический есть, - практически все остались в 19 веке. Уже в 20 они уходят на периферию: всякое "рукомашество" в гидродинамике, сверхтекучести... Может быть, такие найдутся где-то и сейчас. Но очень маргинальные.

zer0 в сообщении #1101581 писал(а):

В статье Манина Ю.И. по инстантонам встретилось.

Это, скорей всего, они туда "забежали на минутку перекурить". Скорей всего, то же самое можно выразить на языке либо просто алгебры, либо дифференциальной геометрии.

zer0 в сообщении #1101581 писал(а):

Считаете, что живой кот может интерферировать с мертвым

Нет, зачем интерферировать? Это вы отсекли. Просто быть одновременно.

[zer0]

Munin в сообщении #1101597 писал(а):

Я принадлежу ко второму лагерю (пока

Все течет, все меняется.

Munin в сообщении #1101597 писал(а):

Дело в том, что если на какой-то вопрос есть математический ответ - то значит, более глубокого физического просто нет. В принципе нет. Дальше мы можем спросить только "а почему эта математика применима в этом случае", но это совсем другой вопрос.

Когда учился, математика помогала глубже и тоньше понять физику. Но математика - не вся физика. Фейнман писал что не понимает КЭД. И не потому, что он такой глупый...

Munin в сообщении #1101597 писал(а):

Нет, зачем интерферировать? Это вы отсекли. Просто быть одновременно.

Вопрос интуитивного представления (просто отделяю мух от котлет). Я выделяю смешанное состояние и его ключевым признаком является возможность интерференции. И выделяю выбор из нескольких состояний, когда система находится в одном из них, но мы [пока] не знаем, в каком именно. Здесь интерференция между состояниями невозможна. В случае с котом - ставим эксперимент и через год смотрим результат (считая, что у кота есть все необходимое для жизни). Если он жив-здоров, то и сразу после эксперимента он был жив. А если видим кости, то он сдох в результате эксперимента. Если хотим, можем сделать поместить в коробку фотоаппарат, который сфотографирует кота сразу после эксперимента (это фото тоже увидим через год, когда откроем коробку). И не может быть на фото кот дохлый и живой в жизни.

[bondkim137]

(Оффтоп)

zer0 в сообщении #1101608 писал(а):

Фейнман писал что не понимает КЭД.

Как писал не знаю, но как говорил на камеру - где-то видел. Он это с такой Фейнмановской улыбкой делал.. =)