Уравнение для монохроматического излучения

[Sicker]

Рассмотрим монохроматическое излучение. Оно имеет вид $\Psi(x,y,z,t)=\varPhi(x,y,z)\exp(i\omega t)$
При подстановке его в волновое уравнение получаем уравнение Гельмгольца $(\Delta+k^2)\varPhi=0$ для поля без источников. Это дифференциальное уравнение второго порядка, но загвоздка в том, что его решения не всегда можно представить как результат суперпозиции монохроматических волн. Для примера возьмем $k=0$, тогда суперпозиция этих волн вообще может создать только поле, постоянное во времени и пространстве. Но уравнение волновое уравнение, которому подчиняется наша волна, это дифференциальное уравнение второго порядка, и для однозначной эволюции его решения необходимо задания в начальный момент времени всех значений его напряженностей и скорости их изменения во всем пространстве. А из уравнения Гельмгольца мы получаем условия на распределение производных нулевых порядков(те напряженности поля) во всем пространстве, а не их скорости изменения в начальный момент, которые мы можем выбрать произвольно значит. И пусть мы возьмем $k=0$, тогда из сомого первого уравнения системы мы получим, что поле стационарно, и в поэтому может создаваться волнами с нулевой скоростью распространения. Но ведь :
1) Из уравнения Гельмгольца из равенство нулю Лапласиана скалярной функции не следует постоянство самой функции
2) Мы же можем задать произвольное значение скорости изменения поля, тк на них нет ограничения в уравнении Гельмгольца, и получить гармонично колеблющееся поле, которое невозможно создать неподвижными волнами.

У меня решения такое, под переменной $\varPhi$ уравнения Гельмгольца следует понимать пару Гамильтоновых переменных $(q,p)$, те $\varPhi=X+iP$
Я правильно думаю или нет? Запутался уже..

[svv]

Когда мы подставляем $\Psi=\Phi e^{i\omega t}$ в волновое уравнение
$\frac 1{v^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=\Delta \Psi$ ,
то Вы заметили, как появляется на свет $k$? Его как попало нельзя выбирать, оно связано с $\omega$.

Sicker в сообщении #1101196 писал(а):

и для однозначной эволюции его решения необходимо задания в начальный момент времени всех значений его напряженностей и скорости их изменения во всем пространстве

Не, подождите. Не Вы ли представили общее решение волнового уравнения в виде $\int$уммы слагаемых вида $\Phi(\mathbf r) e^{i\omega t}$, для каждого из которых временная эволюция уже задана? И параметр $\omega$ эволюции отдельного слагаемого согласован с константой $k$ его пространственного распределения $\Phi(\mathbf r)$ (или наоборот).

[Sicker]

svv
Да, $\omega$ согласована с $k$

-- 22.02.2016, 05:04 --

svv
$\varPhi$ комплексное?

[svv]

Да, комплексное.

[Sicker]

svv
Вот оно че.

-- 22.02.2016, 05:13 --

И действительная часть даст нам реальную волну?

-- 22.02.2016, 05:14 --

Те в $\varPhi$ скорость как бы содержится в мнимой части.

[Munin]

Всё свалено в одну кучу.

1. Есть волновое уравнение. У него могут быть произвольные начальные условия.
2. Есть разновидность решения волнового уравнения - монохроматические волны. Не всякое решение из п. 1 является п. 2.
3. Если волны монохроматические, то можно перейти к уравнению Гельмгольца. Чему будет равно $k$ - это вычисляется из п. 2, а не "задаётся руками произвольно".
4. У уравнений есть ещё и источники и условия на границах и на бесконечности. Без оговаривания этих условий, обсуждать, чего может быть, а чего не может быть - довольно абсурдно.

И наконец, 5. Разложить в плоские волны можно любую функцию от пространственных координат, имеющую достаточный класс интегрируемости, чтобы просто применить преобразование Фурье.

-- 22.02.2016 16:38:26 --

Sicker в сообщении #1101204 писал(а):

$\varPhi$ комплексное?

Для бегущих волн комплексное, для стоячих - действительное.