Гипотеза Линделефа

[ex-math]

У нас ведь $T$ стремится к бесконечности, а $\varepsilon$ -- фиксированное число. Вот если бы все нули лежали в окрестности критической прямой ширины, скажем, $1/T$ (то есть окрестность сужается вверх). Тогда следствие из гипотезы Линделефа выполнено, но нули на критической прямой лежать не обязаны.

[sup]

vicvolf в сообщении #1099831 писал(а):

http://arxiv.org/pdf/1010.3374.pdf

Крайне подозрительная статья. Уже на странице 5 какой-то косяк. Еще ничего не было доказано, а уже проблемы с изложением. Посмотрим на Proposition 2.
С одной стороны условие

$$2 < y_2 - y_1 < 3$$

А с другой стороны

$$T - 1/4 <y_1,y_2 \leqslant T + 1/4$$

Так что данные условия гарантированно не совместны. Следовательно, это утверждение ни о чем.
Дальше читать уже не хочется. Да и какой-то яркой идеи не просматривается ...

[grizzly]

sup в сообщении #1099899 писал(а):

Дальше читать уже не хочется. Да и какой-то яркой идеи не просматривается ...

Как-то странно немного. Там на архиве целая мусорка из версий этой работы. В одной из версий (v2) замеченной Вами ошибки не было (в первом условии стояло от 0 до 1/2). Причём у этой статьи авторы от версии к версии тусуются постоянно -- одни приходят, другие уходят. Эти двое, надо отметить, тоже ведь не маргиналы какие-то -- у них совместные публикации с солидными людьми. Не хотелось бы привлекать конспирологию, а так не знаю, что думать :)

[sup]

Да я просто хотел поглядеть, что за идеи в доказательстве. Ну ошибки, ну ладно. Но может идеи интересные.
Помнится, была некая полемика по поводу книжки Гаврилова. Верно, неверно, но там была некая идея.
А здесь не понятно. Я не вчитывался, а так ... глазами пробежался по тексту. Какие специфические свойства дзета-функции используются --- не заметил.

[sergei1961]

S. Albeverio - известный и уважаемый человек в матфизике. Зачем он в чужое полез? Видно захотелось прославиться к старости...

[Skipper]

Цитата:

У нас ведь $T$ стремится к бесконечности, а $\varepsilon$ -- фиксированное число. Вот если бы все нули лежали в окрестности критической прямой ширины, скажем, $1/T$ (то есть окрестность сужается вверх). Тогда следствие из гипотезы Линделефа выполнено, но нули на критической прямой лежать не обязаны.

А мы разобъем всю критическую полосу на множество прямоугольников и в каждом прямоугольнике будем считать, что существует нуль дзета-функции, наиболее близкий к критической прямой. И $\varepsilon$ будет в каждом прямоугольнике свой, меньше чем это расстояние до ближайшего нуля. В таком случае, все равно

количество нулей на критической прямой, в каждом прямоугольнике, с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) \geqslant cH \ln T$ т.е. количество нулей на критической прямой, зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $O(H \ln T)$ . (теорема Сельберга 1942 года).

количество нулей НЕ на критической прямой (т.е. уже в прямоугольнике), с высотой от $T$ до $(T+H)$ , т.е.
$N(T+H) - N(T) $ зависят от $T$ и $H$ вот так ~ $o(H \ln T)$ . (здесь избавились от сигма, потому что в каждом прямоугольнике будет свой эпсилон).

Т.е. не обязательно для подсчета нулей не на критической прямой, брать какой то единый эпсилон для всей критической полосы.

[ex-math]

Skipper
Вы понимаете, что символ $o $ не имеет смысла для отдельно взятого $T $?

[Skipper]

Ясно, значит из гипотезы Линделефа не следует даже увеличение отношения нулей вне и на кр. прямой более чем нынешние доказанные 2/5 ?

[ex-math]

Насколько я понимаю, нет. Нули на критической прямлй -- это совершенно особая задача.

[Skipper]

Цитата:

На сегодняшний день нет оценки даже вида $O(x^{1-\varepsilon } )$ для остаточного члена в асимптотическом законе.

Хорошо, из всего вышеизложенного, следует, что если удасться доказать всего две гипотезы:
1) Гипотезу Линделефа,
2) Гипотезу о том, что существует сколь угодно малое, но определенное $\varepsilon > 0 $, такое что, нет нулей дзета-функции, лежащих в полосе с действительной частью $t$,

$(1 - \varepsilon) < t < 1 $

(а значит и в полосе $0 < t < \varepsilon $ )

тогда из этих двух гипотез, уже точно будет следовать, что почти все нули дзета-функции Римана, лежат на критической прямой с действительной частью $1/2$ , я правильно понимаю?
Т.е. соотношение количества нулей не лежащих на критической прямой, к количеству нулей на прямой будет стремиться к нулю, при $T$ стремящемся к бесконечности. Это и будет самая сильная оценка, т.е. сильнее нынешних $2/5$ и вообще любых других оценок.

В самом деле, выше мы обсудили, почему гипотеза Линделефа не улучшает оценку - только потому что нулей не лежащих на критической прямой может быть бесконечно много, и из этого следует что нельзя для всех промежутков $T$ указать единое $\varepsilon$ .

[Skipper]

Кто, в курсе, подскажите.
Провильно всё-таки, что из справедливости двух гипотез,

1) гипотезы Линделефа, и
2) "эпсилон-гипотезы" (существует сколь угодно малое, но определенное $\varepsilon > 0 $, такое что, нет нулей дзета-функции, лежащих в полосе с действительной частью $t$, $(1 - \varepsilon) < t < 1 $)

следует хотя и не гипотеза Римана, но следует утверждение "почти все нетривиальные нули дзета-функции лежат на критической прямой" ?
что долгое время пытались доказать Воронин с Карацубой.

Выше я приводил свои рассуждения, почему это должно быть так, но не уверен, не ошибся ли где..

[vicvolf]

sup в сообщении #1099936 писал(а):

Да я просто хотел поглядеть, что за идеи в доказательстве. Ну ошибки, ну ладно. Но может идеи интересные.

А какое Ваше мнение об этой работе
http://lib.mexmat.ru/books/67699
И в частности к идее, что развитие вероятностных методов в теории чисел позволило обнаружить, что тригонометрические суммы являются средством исследования эргодических законов распределения значений числовых функций.

[Skipper]

В книге Джона Дербишира "Простая одержимость", есть такой раздел "Гипотеза Линделефа" (в конце книги),
https://www.litmir.info/br/?b=164054&p=93

Есть, функция на рисунке П5, от одного вещественного аргумента $t$, которая возвращает тоже вещественное число
$\left\lvert \zeta{(\frac{1}{2} + it)} \right\rvert$
(это модуль комплексного числа, возвращаемой дзета-функции).

Далее, утверждается что если доказать, что эта функция растет как $O(1)$, то тем самым гипотеза Линделефа была бы доказана.
Если же рост этой функции больше чем $O(1)$, тогда неверна и гипотеза Линделефа, и вместе с ней, гипотеза Римана
(из ГР следуеет ГЛ, как более слабое утверждение, но не наоборот).

И вот вопрос - на картинке мы видим, что функция то эта, хотя и возвращается к 0, бесконечное количество раз
(это доказано Харди, что существует бесконечно много нулей на критической прямой), но "верхние гребни" ее волн,
уходят вверх, при увеличении аргумента $t$. Значит, и средние значения тоже уходят вверх.
Если гребни волн будут уходить к бесконечности, то может ли при этом быть рост, описываемый как $O(1)$ ?
(Или это означает, что по мере продвижения вправо по оси, рост функции должен прекратиться?)

Также, если гипотеза Римана и неверна, то мне кажется, исследуя в этой области, можно по крайней мере доказать, что нули дзета-функции,
не лежащие на критической прямой, могут встретиться только до ограниченной высоты.
В самом деле, обратное кажется в высшей степени странным.
Из того что функция Линделефа везде выпукла вниз (это тоже доказано), следует разный степенной рост функций

$\left\lvert \zeta{(\frac{1}{2} + \varepsilon + it)} \right\rvert$
и
$\left\lvert \zeta{(\frac{1}{2} - \varepsilon + it)} \right\rvert$

для любого $\varepsilon$.
При этом, при всех аргументах, при которых к нулю вернется первая из этих функций - при тех же аргументах,
к нулю вернется и вторая функция (доказано что нули не на критической прямой могут быть только сопряженными).
Такое может быть?

[Someone]

Skipper в сообщении #1181012 писал(а):

Если гребни волн будут уходить к бесконечности, то может ли при этом быть рост, описываемый как $O(1)$ ?
(Или это означает, что по мере продвижения вправо по оси, рост функции должен прекратиться?)

"$f(x)=O(g(x))$ при $x\to a$" означает ограниченность отношения $\frac{f(x)}{g(x)}$ в некоторой окрестности точки $a$.

[sup]

vicvolf в сообщении #1180975 писал(а):

А какое Ваше мнение об этой работе
http://lib.mexmat.ru/books/67699
И в частности к идее, что развитие вероятностных методов в теории чисел позволило обнаружить, что тригонометрические суммы являются средством исследования эргодических законов распределения значений числовых функций.

Я не специалист по теории чисел. Лучше спросить тех, кто ориентируется в вопросе. Вот высказывание специалиста.
Но если Вас интересует мое мнение, то оно довольно скептическое.
Еще в школе меня посетила "гениальная" мысль, что вероятность числа $x$ быть простым "равна"
$\prod \limits_{p < \sqrt{x}} \frac {p-1}{p}$
Радость от открытия продержалась не слишком долго. Выяснилось, что там есть не просто погрешность, но и весьма нетривиальный множитель. Так что соображения вероятности если и можно применять, то только лишь как правдоподобные/наводящие подсказки.
То, что простые числа ведут себя в некотором смысле "случайно", не вызывает ни у кого никаких сомнений. Но, похоже, на твердую основу эти соображения поставить не удалось.