Интегрирование по замкнутому контуру магнитного поля

[Emik]

Как проинтегрировать по закону Био-Савара-Лапласа? Если интегрировать надо по замкнутому контуру катушки с $ 1 $ витком т.е. от $ 0 $ до $ 2\pi $.
У меня почему-то получается $ 0 $
$ dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac{I[d\vec{r}\times \vec{r}]}{r^3} $
$ dB= \frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac {I\cdot dl\cdot\sin\alpha}{r^2} $
$ dl=r d\alpha $
Интегрируя получаем $ dB= \frac{-\mu_{0}}{4\pi}\cdot \frac {I\cdot cos\alpha}{r} $
Далее $ \alpha=0-2\pi $ которых у обоих угол равен 1 при подстановке разность даёт 0.

[AnatolyBa]

Распишите подробно в компонентах

[rustot]

Как ноль то? В самом простом случае, когда точка для расчета в центре окружности, $\vec{r}\times\vec{dr}$ все сонаправленны и их сумма никак не может получиться нулевой

[AnatolyBa]

Вы векторное произведение записали через $\sin \alpha$ Но это не тот угол по которому надо интегрировать

[rustot]

$\vec{dr}\times\vec{r} = (dy\cdot z - dz\cdot y, dz\cdot x - dx\cdot z, dx\cdot y - dy\cdot x)$

Если скажем проводник лежит в плоскости $x y$ , то $z = dz = 0$ и при проходе по нему

$\vec{dr}\times\vec{r} = (0, 0, dx\cdot y - dy\cdot x) = \hat{z} (dx\cdot y - dy\cdot x)$

Если проводник окружность радиусом $R$ с центром $\vec{r_0} = (x_0, y_0, 0)$ и интегрировать по направлению из центра окружности до элемента провода по углу $\alpha$, то

$x = x_0 + R\sin(\alpha), dx = R\cos(\alpha)d\alpha$
$y = y_0 + R\cos(\alpha), dy = -R\sin(\alpha)d\alpha$
$\vec{dr}\times\vec{r} = \hat{z} R (y_0 \cos(\alpha) + x_0 \sin(\alpha) + R) d\alpha$

Вот это и будет под интегралом вместо $\vec{dr}\times\vec{r}$ для нахождения поля в начале координат. Кроме того не забывайте в знаменателе $r^3 = (x^2 + y^2)^{3/2}$.

В случае $\vec{r_0} = 0$ это вырождается в $\frac{\vec{dr}\times\vec{r}}{r^3} = \frac{\hat{z}}{R}d\alpha$ и интегрирование просто в замену $d\alpha = 2\pi$

[Emik]

Я правильно интегрировал?

[rustot]

Нет, неправильно. Вам уже сказали что синус в формуле НЕ того угла, по которому происходит интегрирование. Синус в формуле между векторами $\vec{r}$ и $\vec{dr}$ тогда как при интегрировании угол между $\vec{r}$ и некоторой неизменной осью. Если центр в начале координат то угол между $\vec{r}$ и $\vec{dr}$ вообще не может меняться и всегда равен $\pi/2$, как вы по нему интегрировать собрались?

[мат-ламер]

Emik в сообщении #1099844 писал(а):

Если интегрировать надо по замкнутому контуру катушки с $ 1 $ витком т.е. от $ 0 $ до $ 2\pi $.

Непонятно, как путь интегрирования соотносится с витком катушки. Они должны друг дуга обхватывать, чтобы интеграл ненулевой был.

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1099964 писал(а):

Непонятно, как путь интегрирования соотносится с витком катушки. Они должны друг дуга обхватывать

Путь интегрирования и виток катушки?

[мат-ламер]

Emik в сообщении #1099844 писал(а):

Если интегрировать надо по замкнутому контуру катушки с $ 1 $ витком т.е. от $ 0 $ до $ 2\pi $.

Кажется смысл фразы дошёл. Катушки с одним витком на самом деле нет. Ток линейный. Проходит через центр окружности, по которой интегрируем.

[Munin]

[мат-ламер]

Munin
Вы не могли бы для меня прокомментировать словами ваши смайлики.

[AnatolyBa]

мат-ламер
ТС пытается вычислить индукцию по закону Био ....А вы, кажется, думаете о циркуляции напряженности.
Не стоит путать

[Munin]

мат-ламер в сообщении #1100069 писал(а):

Вы не могли бы для меня прокомментировать словами ваши смайлики.

Не мог бы: меня забанят. Вкратце, вы ничего не поняли в задаче, но как всегда, лезете с комментариями.

[мат-ламер]

AnatolyBa в сообщении #1100076 писал(а):

ТС пытается вычислить индукцию по закону Био ....А вы, кажется, думаете о циркуляции напряженности.

Emik в сообщении #1099844 писал(а):

Как проинтегрировать по закону Био-Савара-Лапласа? Если интегрировать надо по замкнутому контуру катушки с $ 1 $ витком т.е. от $ 0 $ до $ 2\pi $.

AnatolyBa
Может подскажете, что интегрируется (индукция, наверное ?) и по чему? И как вообще тут ток течёт?

-- Ср фев 17, 2016 15:46:05 --

Munin в сообщении #1100129 писал(а):

Вкратце, вы ничего не поняли в задаче

Munin. Может, если вы поняли условие, но не помогли бы с ним разобраться?