Распределение токов между катушками

[gleensande]

Интересует очень сильно один вопрос. Пусть у нас есть две параллельно соединенные катушки индуктивности и последовательно с ними резистор и источник.

Все элементы идеальны и в таком виде схема находится давно. Вопрос такой: как будут распределены токи между катушками?
Если рассуждать, как меня учили, то со временем ЭДС индукции обеих катушек сойдет на нет и напряжение на них станет равно нулю. Тогда можно их принять за идеальные провода и профит - токи должны в силу симметрии пойти одинаковые по обеим ветвям. Повторюсь, что хоть индуктивности у них разные (в оригинале у нижней в три раза больше, чем у верхней), они идеальны, а значит активного сопротивления у них нет.
Но на самом деле токи разделятся обратно пропорционально их индуктивностям. Не улавливаю, почему так произойдет.

[Mihr]

gleensande,
а почему Вы считаете, что через катушки должны течь одинаковые токи? Соображения симметрии здесь ни при чём: катушки разные.
Если бы их активные сопротивления были строго равны нулю (что, конечно, нереально), тогда любое распределение тока через две катушки в установившемся режиме (в том числе, даже, весь ток - через верхнюю или весь - через нижнюю) не противоречило бы правилам Кирхгофа или каким-то ещё законам/правилам. Главное, чтобы, суммарный ток через обе катушки был равен току через резистор.
Поэтому реальное распределение тока через катушки сложится исключительно на основе "предыстории" - на основе того, как менялись токи через катушки в период их установления. Дальше, я думаю, понятно.

Если уж быть совсем занудой, то можно заметить, что "установившийся" ток, строго говоря, не устанавливается никогда (значения токов асимптотически приближаются к установившимся). Следовательно, чисто формально вопрос как бы не имеет смысла (относится к моменту времени, который никогда не наступит).

[arseniiv]

Видимо, постоянный ток был где-то перепутан с переменным синусоидальным, когда $i_{1,2} = \dfrac{u_{1,2}}{j\omega L_{1,2}}$ — но $u_1 = u_2$, так что амплитуды токов действительно обратно пропорциональны индуктивностям. Но если занулить $\omega$, это пропадает, и получится написанное Mihr: нулевое сопротивление больше нуля в любое число раз, так что и токи могут быть один больше другого в любое число раз.

[Walker_XXI]

gleensande в сообщении #1099768 писал(а):

Но на самом деле токи разделятся обратно пропорционально их индуктивностям. Не улавливаю, почему так произойдет.

На самом деле идеальных катушек не бывает. Так что не очень понятно, как Вы определили, что будет "на самом деле" в практически нереализуемом случае.
А на практике имеем: чем больше индуктивность - тем больше сопротивление. Ну а в идеальном случае можем только теоретически посчитать. И тут будет к месту описанная Mihr ситуация с предысторией.

[Alex-Yu]

gleensande в сообщении #1099768 писал(а):

Тогда можно их принять за идеальные провода

Если катушки принять за идеальные, то определить, как распределяться между ними токи в установившемся режиме при таком источнике не возможно. Обычная неопределенность типа 0/0: ток это напряжение делить на сопротивление, и то и другое --- ноль, а ноль разделить на ноль может быть всем, чем угодно, неопределенная величина.

На самом деле, при реальных катушках какое-то омическое сопротивление у них все же есть, и именно этим сопротивлением будет определяться, как распределится ток в установившемся режиме.

[rustot]

Alex-Yu в сообщении #1099793 писал(а):

Если катушки принять за идеальные, то определить, как распределяться между ними токи в установившемся режиме при таком источнике не возможно. Обычная неопределенность типа 0/0: ток это напряжение делить на сопротивление, и то и другое --- ноль, а ноль разделить на ноль может быть всем, чем угодно, неопределенная величина.

Почему невозможно? Напряжения на катушках все время одинаковые, а значит токи $I_i(t) = \frac{1}{L_i} \int U(t) dt$ в любой момент времени (а значит и в бесконечно отдаленный "установившийся") обратно пропорциональны их индуктивностям. Интеграл то от напряжения для любого момента времени один и тот же.

[Alex-Yu]

rustot в сообщении #1099800 писал(а):

Почему невозможно? Напряжения на катушках все время одинаковые, а значит токи $I_i(t) = \frac{1}{L_i} \int U(t) dt$ в любой момент времени (а значит и в бесконечно отдаленный "установившийся") обратно пропорциональны их индуктивностям.

Это смотря как включать, какие были начальные условия. И вообще такое рассуждение не соответствует действительности. Омическое сопротивление любой реальной катушки все равно все "забьет" на достаточно большом времени. Кстати, неплохая и довольно простая задачка: определить на каком масштабе времени после включения распределение токов станет определяться сопротивлениями, а не индуктивностями.

[rustot]

Alex-Yu в сообщении #1099807 писал(а):

Это смотря как включать, какие были начальные условия. И вообще такое рассуждение не соответствует действительности. Омическое сопротивление любой реальной катушки все равно все "забьет" на достаточно большом времени.

Вы же сами сказали про "Если катушки принять за идеальные, то определить... невозможно". Единственным начальным условием для этого являются нулевые начальные токи и тогда при любых эволюциях напряжения отношение токов будет обратным к отношению индуктивностей

Alex-Yu в сообщении #1099807 писал(а):

Кстати, неплохая и довольно простая задачка: определить на каком масштабе времени после включения распределение токов станет определяться сопротивлениями, а не индуктивностями.

Ну видимо нужно решить систему $L_1 I_1' + R_1 I_1 = L_2 I_2' + R_2 I_2 = \mathcal{E} - R(I_1 + I_2)$

[gleensande]

Mihr в сообщении #1099772 писал(а):

Если уж быть совсем занудой, то можно заметить, что "установившийся" ток, строго говоря, не устанавливается никогда (значения токов асимптотически приближаются к установившимся). Следовательно, чисто формально вопрос как бы не имеет смысла (относится к моменту времени, который никогда не наступит).

Тут у нас некоторая модель, в которой установившийся режим может наступить. А в целом - спасибо за внесение ясности, Вы мне помогли.

-- 16.02.2016, 12:27 --

rustot в сообщении #1099800 писал(а):

Почему невозможно? Напряжения на катушках все время одинаковые, а значит токи $I_i(t) = \frac{1}{L_i} \int U(t) dt$ в любой момент времени (а значит и в бесконечно отдаленный "установившийся") обратно пропорциональны их индуктивностям. Интеграл то от напряжения для любого момента времени один и тот же.

Вот за это отдельное спасибо, как-то в голову не пришло использовать здесь эту формулу. А ларчик, как говорится...)

[svv]

rustot в сообщении #1099813 писал(а):

Единственным начальным условием для этого являются нулевые начальные токи

rustot, но почему? Если система в рамках модели существует в течение бесконечного времени, то вопрос о том, каким образом внешние факторы привели её в то или иное состояние «в самом начале», не требует ответа.

Ненулевой постоянный («вечный») контурный ток через обе индуктивности не противоречит уравнениям? Значит, его нельзя исключать.

Я, собственно, против того, чтобы, рассматривая идеальные модели, произвольно выбирать: вот это может быть, а вот этого не может быть, потому что нереалистично. Допустили идеальную индуктивность — возможен и постоянный контурный ток.

[rustot]

svv в сообщении #1099922 писал(а):

Если система в рамках модели существует в течение бесконечного времени, то вопрос о том, каким образом внешние факторы привели её в то или иное состояние «в самом начале», не требует ответа.

Не задав начальные условия вы не получаете и никакого определенного ответа. Хоть про токи в индуктивности хоть про брошенный камень. Если есть начальное условие "в нулевой момент все токи нулевые" то и ответ совершенно однозначный и никакие контурные токи на бесконечности не добавятся

[svv]

Ну да, при любом выборе начальных условий мы получаем однозначный ответ. Это хорошо. Но в ситуации, когда выбор можно сделать по-разному, это ведь правильно, что определённого ответа нет. Не пользуетесь ли Вы правилом: «если некая величина не задана по условию, но необходима для однозначного решения задачи, назначим ей конкретное значение принудительно (как вариант: будем её считать нулевой)»?

Я, конечно, согласен, что чисто эстетически нулевые начальные условия смотрятся наиболее симпатично. Но, думаю, не более того.

Кстати, ненулевой ток по замкнутому контуру, образованному катушками, можно реализовать практически с помощью магнита, приведя контур в сверхпроводящее состояние.

[Walker_XXI]

svv в сообщении #1099922 писал(а):

Я, собственно, против того, чтобы, рассматривая идеальные модели, произвольно выбирать: вот это может быть, а вот этого не может быть, потому что нереалистично. Допустили идеальную индуктивность — возможен и постоянный контурный ток.

Вообще говоря, любая модель является идеализацией, в которой мы чем-то пренебрегаем. Вопрос лишь в том, насколько ответ, полученный с учётом большего числа "неидеальностей", будет отличаться от ответа, полученного в рамках более простой модели.

Из контекста вопроса видно, что речь идёт об установлении стационарного тока после включения источника постоянной эдс. В квазистационарном случае мы имеем довольно простенькую систему диффур:

$$\left\{ \begin{aligned} &(I_1+I_2)R+L_1\dot{I_1}=\varepsilon\\ &(I_1+I_2)R+L_2\dot{I_2}=\varepsilon\\ \end{aligned} \right.$$

Откуда получаем $L_1\dot{I_1} = L_2\dot{I_2}=\varepsilon-IR$, где $I=I_1+I_2$, что соответствует равенству напряжений на обоих индуктивностях. Обозначив $\varepsilon-I(t)R=U(t)$, получим уже упоминавшуюся тут интегральную формулу. Впрочем, систему диффур несложно решить и влоб. При нулевых начальных условиях решение запишется в виде

$$ I_i(t)=\frac{\varepsilon}{R}\frac{L}{L_i}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right),\qquad L=\frac{L_1L_2}{L_1+L_2}. $$

Следовательно, в любой момент времени $I_1/I_2=L_2/L_1$. Правда, учёт активного сопротивления катушек "зарежет" зависимость от их индуктивности. И оно, скорее всего, будет пропорционально $\sqrt{L_i}$.