Tangential quadrilateral

[ins-]

$ABCD$ is an quadrilateral circumscribed around a circle with radius $r$. Incircles of the triangles $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ are with radiuses $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, respectively. Express $r$ in therms of $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$.

(Оффтоп)

I composed this problem and know how to solve it. I'm posting it here to see different approaches and opinions.

[gris]

Первое, что в голову приходит, это написать систему уравнений на радиусы, стороны и диагонали. И попробовать исключить всё, кроме радиусов. Использовать свойства площадей и свойство описанного четырёхугольника.

[ins-]

If you start from scratch expressing everything, it might be very interesting. This looks like Sangaku and enrich the statements considering the tangential quadrilateral. I have no information if it was discovered before. I hope you will like it.

[mihiv]

Периметр 4-угольника:$p=2r\Sigma $, где $\Sigma=\ctg \frac A2+\ctg \frac B2+\ctg \frac C2+\ctg \frac D2$. Отсюда площадь 4-угольника: $S=\frac 12pr=r^2\Sigma \qquad (1)$

Из треугольников $ABC$ и $ACD$ находим:

$$AB+BC-AC=2r_1\ctg \frac B2, AD+CD-AC=2r_3\ctg \frac D2$$

И, следовательно, $AC=\dfrac p2-(r_1\ctg \frac B2+r_3\ctg \frac D2)\qquad (2)$ Аналогично из треугольников $ABD$ и $BCD$ находим: $BD=\dfrac p2-(r_2\ctg \frac C2+r_4\ctg \frac A2)$.

Найдем периметры треугольников. С учетом равенства (2): $p_1=(AB+BC-AC)+2AC=p-2r_3\ctg \frac D2.$ Таким же образом получим: $p_3=p-2r_1\ctg \frac B2, p_2=p-2r_4\ctg \frac A2, p_4=p-2r_2\ctg \frac C2.$

Выразим площадь 4-угольника через площади треугольников двумя способами: $S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac 12(p_1r_1+p_3r_3)=\frac 12(r_1+r_3)p-r_1r_3(\ctg \frac B2+\ctg \frac D2)$и$$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac 12(p_2r_2+p_4r_4)=\frac12(r_2+r_4)p-r_2r_4(\ctg \frac A2+\ctg \frac C2)$

Умножим первое уравнение на $r_2r_4$, а второе на $r_1r_3$ и сложим, в результате получим:$FS=(rG-H)\Sigma $, где $F=r_1r_3+r_2r_4, G=r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4, H=r_1r_2r_3r_4.$
Исключая $\Sigma $ с помощью (1) получим для $r$ квадратное уравнение:

$$Fr^2-Gr+H=0$$

[DeBill]

Ага, у меня то же получилось. Только я исходил из известного забавного свойства: для описанного четырехугольника, окружности, вписанные в наши - соседствующие по диагонали - треугольники - касаются друг друга. Ну, а дальше - ужасная аналитика...

[ins-]

It can be proven $\frac{(r-r_1)(r-r_3)}{r_1r_3}+\frac{(r-r_2)(r-r_4)}{r_2r_4}=1$ and thus $r=\frac{r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2+\sqrt{(r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2)^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}$.
I saw 2 more relatively simple ways to be solved (in traditional Sangaku approach) and using trigonometry from the Peruvian mathematician Israel Diaz Acha. It remained as an open problem for 5 years on artofproblemsolving.com. The way I solved it is by expressing all the elements by tangents to the quadrilateral's incircle and then a system with six equations from which I excluded everything except $r_1, r_2, r_3, r_4, r$.

[ins-]

If you are interested in more details to what I mentioned, you might visit this link: http://artofproblemsolving.com/communit ... 85p5890986

[ins-]

Excuse me for the sequential posts. http://cut-the-knot.org/m/Geometry/Bori ... chev.shtml . Here all the solutions I have collected are better organized and Solution 3 is the way I used for finding this result.

[svv]

(Оффтоп)

ins- в сообщении #1100024 писал(а):

Express $r$ in therms of $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$.

in terms

terminus (лат.) — граница, предел, окончание.
thermos (греч.) — тёплый, горячий.

[ins-]

(Оффтоп)

Thank you for the remark. I saw my mistake, but too late. Then I had no rights to edit the statement. Languages are not my strongest side.