2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Tangential quadrilateral
Сообщение16.02.2016, 23:31 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
$ABCD$ is an quadrilateral circumscribed around a circle with radius $r$. Incircles of the triangles $ABC$, $BCD$, $CDA$, $DAB$ are with radiuses $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, respectively. Express $r$ in therms of $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$.

(Оффтоп)

I composed this problem and know how to solve it. I'm posting it here to see different approaches and opinions.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение16.02.2016, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13314
Первое, что в голову приходит, это написать систему уравнений на радиусы, стороны и диагонали. И попробовать исключить всё, кроме радиусов. Использовать свойства площадей и свойство описанного четырёхугольника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение17.02.2016, 00:01 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
If you start from scratch expressing everything, it might be very interesting. This looks like Sangaku and enrich the statements considering the tangential quadrilateral. I have no information if it was discovered before. I hope you will like it.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение19.02.2016, 22:25 
Заслуженный участник


03/01/09
1245
москва
Периметр 4-угольника:$p=2r\Sigma $, где $\Sigma=\ctg \frac A2+\ctg \frac B2+\ctg \frac C2+\ctg \frac D2$. Отсюда площадь 4-угольника: $S=\frac 12pr=r^2\Sigma \qquad (1)$

Из треугольников $ABC$ и $ACD$ находим:$$AB+BC-AC=2r_1\ctg \frac B2, AD+CD-AC=2r_3\ctg \frac D2$$И, следовательно, $AC=\dfrac p2-(r_1\ctg \frac B2+r_3\ctg \frac D2)\qquad (2)$ Аналогично из треугольников $ABD$ и $BCD$ находим: $BD=\dfrac p2-(r_2\ctg \frac C2+r_4\ctg \frac A2)$.

Найдем периметры треугольников. С учетом равенства (2): $p_1=(AB+BC-AC)+2AC=p-2r_3\ctg \frac D2.$ Таким же образом получим: $p_3=p-2r_1\ctg \frac B2, p_2=p-2r_4\ctg \frac A2, p_4=p-2r_2\ctg \frac C2.$

Выразим площадь 4-угольника через площади треугольников двумя способами: $S=S_{ABC}+S_{ACD}=\frac 12(p_1r_1+p_3r_3)=\frac 12(r_1+r_3)p-r_1r_3(\ctg \frac B2+\ctg \frac D2)$и$$S=S_{ABD}+S_{BCD}=\frac 12(p_2r_2+p_4r_4)=\frac12(r_2+r_4)p-r_2r_4(\ctg \frac A2+\ctg \frac C2)$

Умножим первое уравнение на $r_2r_4$, а второе на $r_1r_3$ и сложим, в результате получим:$FS=(rG-H)\Sigma $, где $F=r_1r_3+r_2r_4, G=r_1r_2r_3+r_1r_2r_4+r_1r_3r_4+r_2r_3r_4, H=r_1r_2r_3r_4.$
Исключая $\Sigma $ с помощью (1) получим для $r$ квадратное уравнение:$$Fr^2-Gr+H=0$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение19.02.2016, 23:45 
Заслуженный участник


10/01/16
1739
Ага, у меня то же получилось. Только я исходил из известного забавного свойства: для описанного четырехугольника, окружности, вписанные в наши - соседствующие по диагонали - треугольники - касаются друг друга. Ну, а дальше - ужасная аналитика...

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение20.02.2016, 11:29 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
It can be proven $\frac{(r-r_1)(r-r_3)}{r_1r_3}+\frac{(r-r_2)(r-r_4)}{r_2r_4}=1$ and thus $r=\frac{r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2+\sqrt{(r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2)^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}$.
I saw 2 more relatively simple ways to be solved (in traditional Sangaku approach) and using trigonometry from the Peruvian mathematician Israel Diaz Acha. It remained as an open problem for 5 years on artofproblemsolving.com. The way I solved it is by expressing all the elements by tangents to the quadrilateral's incircle and then a system with six equations from which I excluded everything except $r_1, r_2, r_3, r_4, r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение20.02.2016, 12:31 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
If you are interested in more details to what I mentioned, you might visit this link: http://artofproblemsolving.com/communit ... 85p5890986

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение26.02.2016, 17:59 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Excuse me for the sequential posts. http://cut-the-knot.org/m/Geometry/Bori ... chev.shtml . Here all the solutions I have collected are better organized and Solution 3 is the way I used for finding this result.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение27.02.2016, 13:46 
Заслуженный участник


23/07/08
7661
Харьков

(Оффтоп)

ins- в сообщении #1100024 писал(а):
Express $r$ in therms of $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$.
in terms

terminus (лат.) — граница, предел, окончание.
thermos (греч.) — тёплый, горячий.

 Профиль  
                  
 
 Re: Tangential quadrilateral
Сообщение27.02.2016, 14:04 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България

(Оффтоп)

Thank you for the remark. I saw my mistake, but too late. Then I had no rights to edit the statement. Languages are not my strongest side.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group