Есть также полезная теорема, что подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно. С помощью этой теоремы можно, например, сразу сказать, что множество всех натуральных чисел, делящихся на три, счетно. Впрочем, и указать правило для их нумерации тоже легко:
3 - первое число
6 - второе число
9 - третье число
...
Есть не менее полезная теорема: если взять конечную или счетную систему множеств
![$A$ $A$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/d/53d147e7f3fe6e47ee05b88b166bd3f682.png)
,
![$B$ $B$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/e/61e84f854bc6258d4108d08d4c4a085282.png)
, ... и все эти множества объединить, то результат объединения будет снова счетным множеством. С помощью этой теоремы можно, сразу сказать, что множество всех целых чисел счетно. Впрочем, и указать правило для их нумерации, опять же, легко:
0 - первое число
1 - второе число
-1 - третье число
2 - четвертое число
-2 - пятое число...
Можно придумать и другое правило нумерации. Главное, чтобы каждое число за конечное число шагов получило номер. Пытаться перенумеровать сначала все положительные числа, а потом все отрицательные, бессмысленно: ведь положительные никогда не закончатся. Как и в первом примере - с алфавитом - не получится перенумеровать сначала все слова, начинающиеся на "а", потом все слова, начинающиеся на "б" и т.д.
-- 16.02.2016, 22:53 --Интересно, а сколько различных способов пронумеровать счётное множество? То есть этих самых "правил".
Континуум.
-- 16.02.2016, 22:55 --А почему не дать такую нумеровку: 1.в 2.ипп 3.ба... или что-то в этом роде?
На это я только что отвечал.
Можно придумать и другое правило нумерации. Главное, чтобы каждое число за конечное число шагов получило номер. Пытаться перенумеровать сначала все положительные числа, а потом все отрицательные, бессмысленно: ведь положительные никогда не закончатся. Как и в первом примере - с алфавитом - не получится перенумеровать сначала все слова, начинающиеся на "а", потом все слова, начинающиеся на "б" и т.д.