Задача по топологии

[timon]

Пусть f: {\rm X}\times{\rm X}\rightarrow \mathbb R непрерывное отображение, \rm X - компактное Хаусдорфово пространство.

Доказать, что диагональ \Delta=\{{\rm x} \times {\rm x}\;\; |{\rm x}\in {\rm X}\} является G_{\delta}.

[AD]

А какое отношение $f$ имеет к дальнейшему?

[timon]

Тогда если это так, то будучи компактным пространство \rm X имеет еще и счетную базу и метризуется.

[AD]

Почему это? Всегда есть заведомо непрерывное отображение $f(\mathrm{x},\mathrm{y})\equiv0$, его существование ничего не говорит о свойствах $\mathrm{X}$.

[timon]

\Delta является закрытым множеством - в силу того что \rm X Хаусдорфово.
Если \Delta является еще и G_{\delta}, то Z=\rm X\times \rm X\setminus\Delta открыто и F_{\sigma}. В силу компактности, Z - \sigma-компактное и Линдлефа.
Если U\times V топология на Z, то U и V непересекающиеся множества, которые образуют более грубую топологию на \rm X. По теореме, обе топологии на X совпадают, и метризация следует из теориемы Урысона.