
является закрытым множеством - в силу того что

Хаусдорфово.
Если

является еще и

, то

открыто и

. В силу компактности,

-

-компактное и Линдлефа.
Если

топология на

, то

и

непересекающиеся множества, которые образуют более грубую топологию на

. По теореме, обе топологии на

совпадают, и метризация следует из теориемы Урысона.