2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Задача по топологии
Сообщение31.03.2008, 14:43 
Пусть f: {\rm X}\times{\rm X}\rightarrow \mathbb R непрерывное отображение, \rm X - компактное Хаусдорфово пространство.

Доказать, что диагональ \Delta=\{{\rm x} \times {\rm x}\;\; |{\rm  x}\in {\rm X}\} является G_{\delta}.

 
 
 
 
Сообщение31.03.2008, 15:01 
А какое отношение $f$ имеет к дальнейшему?

 
 
 
 Задача по топологии
Сообщение31.03.2008, 15:06 
Тогда если это так, то будучи компактным пространство \rm X имеет еще и счетную базу и метризуется.

 
 
 
 Re: Задача по топологии
Сообщение31.03.2008, 19:04 
Почему это? Всегда есть заведомо непрерывное отображение $f(\mathrm{x},\mathrm{y})\equiv0$, его существование ничего не говорит о свойствах $\mathrm{X}$.

 
 
 
 Задача по топологии
Сообщение31.03.2008, 20:06 
\Delta является закрытым множеством - в силу того что \rm X Хаусдорфово.
Если \Delta является еще и G_{\delta}, то Z=\rm X\times \rm X\setminus\Delta открыто и F_{\sigma}. В силу компактности, Z - \sigma-компактное и Линдлефа.
Если U\times V топология на Z, то U и V непересекающиеся множества, которые образуют более грубую топологию на \rm X. По теореме, обе топологии на X совпадают, и метризация следует из теориемы Урысона.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group