Подсказка Ферма.Доказательство част.случая ВТФ:соседние кубы

[PhisicBGA]

Прежде ,чем продолжить тему хочу исправить опечатку:

$$23^3 = 22^3 +6^3 - 6х(33) -11 $$

.Должно быть конечно же так:

$$23^3 = 22^3 +12^3 - 6х(33) -11 $$

.
Теперь продолжим.Ранее мы рассмотрели,как ведёт себя разложение куба целого числа в центре прогрессии его единичного приращения, и обнаружили, что разложить куб целого числа в этом случае в виде а $(2a_c+1)^3=(2a_c)^3+(a_c+1)^3$ невозможно.
Теперь рассмотрим,как работает это разложение при смещении от центра прогрессии в сторону её увеличения и уменьшения.Пойдём сначала в сторону увеличения прогрессии:

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1)^3 - a ^3 + 6(<2a> - <a>) $$

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1+1)^3 - (a +1) ^3 + 6(<2a> - <a+1>) $$

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1+2)^3 - (a + 2)^3 + 6(<2a> - <a+2>) $$

$$------------- // -----------------------//-----------------------------//----------------------$$

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1+1)^3 - (a+1)^3 + 3(a-1)(3a+2) $$

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1+2)^3 - (a+2)^3 + 3(a-2)(3a+3) $$

-

$$ --------------//------------------------------//-----------------------//----------------$$

$$ x^3 = (2a + 1)^3 = (2a)^3 +(a+1+n)^3 - (a+n)^3 + 3(a-n)(3a+n+1). (1) $$

где n-целое число
Мы получили динамическую формулу пошагового смещения разложения куба целого числа от центра прогрессии в сторону её увеличения.
Сделаем первый шаг: $n=1$ и рассмотрим разность:

$$R = 3(a-1)(3a+2) - (a+1)^3 = 6a^2 - 6a -7 -a^3 = a[a(6-a) - 6 ] - 7$$

.
Видно,что разность так же не обращается в 0,так же имеет границу смены знака: при $a = 4 ........ R > 0 $ , при $a = 5 ........ R < 0 $. Но, что интересно, эта граница сместилась вниз : для центра прогрессии она была между $a = 9$ и $a = 10$, а теперь опустилась и стала между
$a = 4 $ и $a = 5$.
Сделаем второй шаг: $ n = 2 $ и рассмотрим разность:

$$R = 3(a-2)(3a+3) - (a+2)^3 = 3a^2 - 21a -26 -a^3 = a[a(3-a) - 21 ] - 26 $$

Мы видим ,что разность так же не обращается в 0, а вот граница смены знака вообще исчезла.Понятно,что при дальнейшем смещении в сторону возрастания прогрессии отрицательное значение разности будет только нарастать за счёт увеличения $(a +n)^3$ и уменьшения $3(a-n)(3a+n+1)$.
Мы получили интересную вещь:в разложении куба целого числа ,когда один из членов разложения есть куб соседнего числа существует ограничение в росте второго куба : он не может быть больше величины $(a +2)^3$ для всех целых значений a - центра прогрессии единичного приращения рассматриваемого куба. Если проводить аналогию с физикой, то внутри куба словно действует упругая сила пропорциональная смещению от центра прогрессии,которая ограничивает величину второго члена в разложении и при больших смещениях отбрасывает его назад.Эта сила и есть наша разность : $ R = 3(a - n)(3a+n+1) - (a +n )^3 $ - при смещении вверх по прогрессии растёт $(a+n)^3$,а при смещении вниз по прогрессии - в этом случае $ R = 3(a + n)(3a - n+1) - (a - n)^3 $ - растет разность $3(a + n)(3a - n+1) $
Если продолжить аналогию и спросить,может ли упругая сила обратиться в 0 в процессе смещения? То ответ однозначный: не может.Вот такая интересная аналогия, но посмотрим , что скажет математика.
Понятно, что в сторону увеличения прогрессии ходить уже не имеет смысла.Поэтому отправимся вниз от центра прогрессии - в сторону её уменьшения.В этом случае наша разность будет:

$$ R = 3(a + n)(3a - n+1) - (a - n)^3 . (2) $$

Необходимо рассмотреть все возможности обращения этой разности в 0.Буду очень рад увидеть соображения по этому поводу участников форума.

[PhisicBGA]

Продолжаем тему. Похоже,что математика опять ничего внятного сказать нам по этому поводу не может.Да....забыл сказать ещё об одной ,самой главной, подсказке Пьера Ферма.Помните его знаменитые слова:"Я нашёл поистине удивительное доказательство....." Это значит, что истинное доказательство должно быть необычным - оно должно удивлять, поражать,вызывать кучу эмоций,от него должна " ехать крыша" у здравого смысла.Не буду говорить за других - попробую оценить свой подход с позиций этого критерия:
--- Степени целого числа это не обычные числа - они имеют внутреннюю структуру.
Хм...занятно..а ,впрочем,почему бы нет....?
---- Эта структура состоит на 99% из треугольных чисел.
Хо...это уже экзотика..фантазии..
--- В этой структуре треугольные числа имеют строгую, чёткую пространственную организацию- в виде шестигранной пирамиды и любые разложения этой структуры лимитирует нечто похожее на упругую силу.
Что.. !!! Это просто - бред собачий...!!!
"Крыша" начинает потихонечку съезжать.Что же..значит,по этому критерию, выбран правильный путь.Поэтому - продолжим в том же направлении.
Как известно из физики, упругие силы имеют следующий вид: $F = - Kx $ , где x- смещение из равновесного состояния, K- коэффициент упругости - некая постоянная величина т.е.const для данной системы.
Именно эта константа и определяет упругую силу в каждой конкретной системе.Следовательно, чтобы найти упругую силу в нашей системе нужно всего лишь найти некую константу которая характерна для кубов целых чисел,т.е. некое соотношение между кубами которое остаётся постоянной величиной для различных целых чисел.
А как известно - константы управляют миром: гравитационная постоянная - управляет всей вселенной (кстати,открытые на днях гравитационные волны тоже были когда то кошмаром для здравого смысла),постоянная Планка - управляет всем микромиром.Возможно,что эта предсказанная мной здесь пока чисто гипотетически константа (можно я назову её на правах перво-предсказателя - постоянная BGA и дам ей обозначение- B ) будет управлять разложением всех целых степеней всех целых чисел.Как оказалось, ВТФ - это целая вселенная.Представляете - какая перспектива? Аж,дух захватывает! Это - хорошо. Это значит,согласно критерию великого Пьера Ферма мы движемся в правильном направлении. Ну,что..будем искать? А вдруг...

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1099539 писал(а):

(можно я назову её на правах перво-предсказателя - постоянная BGA и дам ей обозначение- B )

Даже знаю, чему она равна.. В случае кубов - 3 . Больше никаких постоянных там нет..

Кстати, а вот такое доказательство будет "удивительным"? -

Сначала доказать, что не может существовать решений УФ, если все степени в уравнении соседние для всех показателей больше квадрата (для квадрата - это первая примитивная пифагорова тройка). Это доказывается с использованием МТФ.

Затем доказать, что если нет примитивных решений, - то решений не может быть вообще..

Ну, - или в обратном порядке - тоже пойдет...

[PhisicBGA]

alexo2 писал(а):

Даже знаю, чему она равна.. В случае кубов - 3 . Больше никаких постоянных там нет..

Замечательно!! Но к сожалению,не конструктивно.Особенно для человека,который сам стоял у истока идеи о структуре куба из треугольных чисел.Правда, постоял..постоял...и ушёл,а напрасно.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1099558 писал(а):

Но к сожалению,не конструктивно.Особенно для человека,который сам стоял у истока идеи о структуре куба из треугольных чисел.Правда, постоял..постоял...и ушёл,а напрасно.

Поэтому и могу заявить "вполне авторитетно" - это тупик...

[PhisicBGA]

alexo2
писал(а):

Поэтому и могу заявить "вполне авторитетно" - это тупик...

Вот,это уже разговор.Но пока это мнение одного ,хотя и действительно авторитетного и уважаемого человека, много сделавшего интересного на этом форуме.Что думают другие члены форума?

[PhisicBGA]

Судя по реакции участников форума,отношение к этой необычной идее мягко-говоря сдержанно-скептическое.Попробую перевести эту идею из разряда гипотетических в разряд реальных.Дело в том,что такая константа в пространстве кубов целых чисел действительно существует .Я обнаружил её увлечённо лазая по внутренним структурам различных кубов.Сейчас на страницах этого форума я бы хотел впервые представить эту константу уважаемым участникам.
В пространстве кубов целых чисел для куба любого нечётного числа $x^3=(2a +1)^3$ отношение разности состоящей из этого куба минус число равное его основанию к разности состоящей из суммы кубов чисел равных половинкам его основания минус число равное этому основанию всегда постоянно и равно 4.

$$ B = \frac{(2a+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3+a^3 - (2a+1)} =\operatorname{const} =4 $$

Действительно:

$$(2a+1)^3 -(2a +1) = 2a(2a+1)(2a+2) = 4(2a+1)a(a+1)$$

$$(a+1)^3 +a^3 -(2a +1) = a(a+1)(a+2) + (a -1)(a)(a+1) = (2a+1)a(a+1)$$

И это ещё не всё! Постоянной BGA подчиняются не только кубы целых чисел ,но и единичные приращения которые их делают!
Действительно:

$$(2a+1)^3 -(2a +1) = 4(a+1)^3 + 4a^3 -4(2a+1)$$

$$(2a+1)^3 = 4(a+1)^3 + 4a^3 -3(2a+1)$$

$$ 8a^3 +6<2a> +1 = 4(a+1)^3 + 4a^3 -3(2a+1)$$

$$ 6<2a> +1 = 4(a+1)^3 - 4a^3 -3(2a+1)$$

$$ B = \frac{6<2a> +1- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} =\operatorname{const} =4 $$

Обратите внимание - в константе для единичного приращения в знаменателе стоит разность кубов,а для самого куба -
сумма этих кубов.Красиво!
Такие удивительные дела творятся во вселенной целых степеней натуральных чисел.Скажу откровенно:для каждого физика открытие некой константы-это заветная мечта .Не важно где - в реальной вселенной или математической.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1099798 писал(а):

В пространстве кубов целых чисел для куба любого нечётного числа $x^3=(2a +1)^3$ отношение разности состоящей из этого куба минус число равное его основанию к разности состоящей из суммы кубов чисел равных половинкам его основания минус число равное этому основанию всегда постоянно и равно 4.

Такие константы "от лукавого" - они не "первородны" (если уж Вы сравниваете их с постоянными из физического мира).
Могу Вам "подарить" например, константу "из той же серии", что и у Вас:

В пространстве кубов целых чисел для куба любого четного числа $x^3=(2a)^3$ отношение этого куба к кубу половинки основания всегда постоянно и равно 8

В плане поиска пресловутого элементарного доказательства я бы лучше поисследовал известное $3a^2+b^2$...

[PhisicBGA]

alexo2 писал(а):

Такие константы "от лукавого" - они не "первородны" (если уж Вы сравниваете их с постоянными из физического мира).
Могу Вам "подарить" например, константу "из той же серии", что и у Вас

Способность удивляться и наслаждаться красотой формул-неотъемлемое качество хорошего учёного.А константы...они и в Африке константы-"первородны" они или какого другого рода.

[alexo2]

PhisicBGA в сообщении #1099823 писал(а):

Способность удивляться и наслаждаться красотой формул-неотъемлемое качество хорошего учёного.А константы...они и в Африке константы-"первородны" они или какого другого рода.

(Оффтоп)

Да я и сам такой же, так что - не в обиду, просто, излишний пафос в математике, как я уже понял, чаще бывает именно "излишним"..

Если интересно, могу поделиться своими мыслями (общими, а не самим доказательством - его у меня нет!) по поводу элементарного доказательства "для чего-нибудь уже" из ВТФ...

[alexo2]

Квалифицирую молчание как знак согласия автора темы ..
Итак, что я понял:
Если рассмотреть доказательства для отдельных первых простых степеней Эйлера, Лежандра, Дирихле (до Куммера), то можно выделить некий сложившийся подход (или способ) при сведении к спуску.
А именно, - после первичных элементарных рассуждений и преобразований всегда получается "главное" уравнение, обязательно имеющее целые решения.
Однако, оно характерно тем, что от его решений - прямая дорога к бесконечному спуску, который, как мне кажется, является единственно возможным приемом доказательства в случае ВТФ.
То есть, я считаю ошибкой преобразовывать начальное УФ к неразрешимому виду - вот это я имел ввиду под словом "тупик".
В этом смысле, случай соседних кубов, при кажущемся упрощении, на самом деле ещё больше усложняет задачу поиска доказательств, так как ещё более минимизирует "неразрешимость".

Итак, совет по поиску элементарных доказательств - пытаться преобразовать к таким уравнениям, решения которых:
- находятся элементарным способом;
- имеют вид, достаточный для дальнейшего применения бесконечного спуска..

P.S.-все сказанное выше - имхо...
P.P.S Если ни к чему "такому" привести исходное УФ невозможно (чему не особо удивлюсь), то ВТФ не имеет элементарных доказательств даже для отдельных степеней (опять - имхо... )

[vxv]

alexo2 в сообщении #1099850 писал(а):

Итак, совет по поиску элементарных доказательств - пытаться преобразовать к таким уравнениям, решения которых:
- находятся элементарным способом;
- имеют вид, достаточный для дальнейшего применения бесконечного спуска..

Попробую дополнить:.. не всегда следует заранее объявлять значения параметров a, b, c взаимно простыми .

[ananova]

Решил вставить комментарий о своих "непубликуемых доказательствах". Считайте, что просто подкидываю идею и только, не раскрывая карты.

Речь идет о рекурсивной связи множеств (троек Ферма $a_i, b_i, c_i$), которые так сказать - "спускаются вниз и поднимаются вверх"

В варианте, когда $z>y+1$ переменная из нижестоящей (по иерархии) тройки Ферма "наследуется" сразу двумя переменными вышестоящей тройки Ферма. Это просто доказывается.

В некотором смысле, vxv - смотрит в корень.

vxv в сообщении #1099860 писал(а):

Попробую дополнить:.. не всегда следует заранее объявлять значения параметров a, b, c взаимно простыми .

Если же $z=y+1$, то требуются "обходные пути", т.к. переменные "сводятся" к той самой единице, которую не "выведешь на чистую воду" по этой схеме. К счастью после года раздумий мне кажется удалось это сделать. Или я думаю, что удалось, а на самом деле не удалось. Разочарование - пугает... поэтому и не публикую, пока не буду абсолютно уверен.

[alexo2]

ananova в сообщении #1099948 писал(а):

Если же $z=y+1$, то требуются "обходные пути", т.к. переменные "сводятся" к той самой единице, которую не "выведешь на чистую воду" по этой схеме.

Да, что-то подобное я имел ввиду.. Нельзя в случае ВТФ "до безобразия" заниматься преобразованиями и упрощениями - это ни к чему не приведет, кроме очередного, но уже больше не преобразуемого тупикового уравнения, не имеющего решений. Как например, в случае разности соседних кубов:
$4a^3-1=3b^2$...

[PhisicBGA]

Спасибо Всем кто принял живое участие в обсуждении.Всегда рад увидеть самые различные мнения на страницах этой темы и для этого не надо спрашивать разрешения.А теперь продолжу.
Конечно же совершенно безумная с точки зрения здравого математического смысла (только сумасшедший физик мог такое придумать!)идея получила неожиданное подкрепление в виде представленной мной вчера константы.И хотя уважаемый alexo2 отказывает ей в благородном происхождении и говорит,что она не королевских кровей,что то в не безусловно есть:
---- внешняя красота ( не то,что эта простушка $ \frac{(2a)^3}{(a)^3} =\operatorname{const} =8 $)
---- внутренняя тайна (она двулика и почему то равна не 3, как совершенно разумно, влёт заявил уважаемый alexo2 , а 4,что вроде бы ближе к биквадратам)
---- и самое главное: в ней есть как раз то что нам надо - и куб, и его единичное приращение.
Конечно, роль королевы красоты она не потянет,а вот роль серого кардинала ,управляющего тайно всеми внутренними трансформациями кубов, вполне может .
Давайте посмотрим на что она способна.
Рассмотрим куб нечётного числа $x^3=(2a+1)^3.$ Предположим,что создающее его приращение $6<2a>+1= (2c +1)^3$,где $ c <a $-целые числа. Тогда

$$ B = \frac{6<2a> +1- (2a+1)}{(a+1)^3 - a^3 - (2a+1)} = \frac{(2c+1)^3- (2a+1)}{(a+1)^3+a^3 - (2a+1)}= 4 $$

Пусть $ a = c + n $, где $n <a $- целое число
Тогда

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)-2n}{(c+1+n)^3+(c+n)^3 - (2c+1)- 2n}= 4 $$

$$(2c+1)^3 - (2c +1) = 4[(c+1)^3 - c^3] + 4[3n(2c+1) +n] +4(2c+1)-(12/2)(n)$$

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1) +n]- (2c+1) -(3/2)n} =4 $$

Однако справедливо и следующее равенство

$$ \frac{(2c+1)^3- (2c+1)}{(c+1)^3+c^3 - (2c+1) } =4 $$

Значит мы можем приравнять

$$ (c+1)^3-c^3 + 3n[(2c+1) +n]- (2c+1) -(3/2)n = (c+1)^3+c^3 - (2c+1) $$

Отсюда получаем

$$ 2c^3 = 3n[(2c+1) +n] - (3/2)n $$

Необходимо,что бы $n = 4n_{1}$
После подстановки и преобразований получаем

$$ c^3 = 3n_{1}[4c +8n_{1} +1] $$

Необходимо,что бы $c = 3c_{1}$
После подстановки и преобразований получаем

$$ 9c_{1}^3 = n_{1}[12c_{1} +8n_{1} +1] $$

Преобразуем это равенство

$$ 3c_{1}(3c_{1}^2 - 4n_{1}) = n_{1}(8n_{1} +1) $$

$$ \frac{3c_{1}}{n_{1} } =\frac{8n_{1}+1}{3c_{1}^2- 4n_{1} } .(1) $$

Вспомним,что $ a = c + n $, где $n <a $- целые числа.Следовательно при каждом фиксированном значении $a$ значения $n$ и $c$ увеличиваются и уменьшаются в противофазе.Следовательно равенство (1) возможно лишь в единственном случае:

$$ 3c_{1} = 8n_{1} +1 $$

и

$$ n_{1} = 3c_{1}^2 - 4n_{1} $$

Из этой системы двух уравнений получаем квадратное уравнение:

$$24 c_{1}^2 - 15 c_{1} + 5 =0$$

Его дискриминант равен $D = 225 - 480 < 0 $ .Следовательно целых решений это уравнение не имеет.
Неужели получилось..? Неужели наша безумная идея сработала?